【題目】如圖,在Rt△ABC中,AB=AC=4.一動點P從點B出發(fā),沿BC方向以每秒1個單位長度的速度勻速運動,到達點C即停止.在整個運動過程中,過點P作PD⊥BC與Rt△ABC的直角邊相交于點D,延長PD至點Q,使得PD=QD,以PQ為斜邊在PQ左側作等腰直角三角形PQE.設運動時間為t秒(t>0).
(1)在整個運動過程中,設△ABC與△PQE重疊部分的面積為S,請直接寫出S與t之間的函數(shù)關系式以及相應的自變量t的取值范圍;
(2)當點D在線段AB上時,連接AQ、AP,是否存在這樣的t,使得△APQ成為等腰三角形?若存在,求出對應的t的值;若不存在,請說明理由;
(3)當t=4秒時,以PQ為斜邊在PQ右側作等腰直角三角形PQF,將四邊形PEQF繞點P旋轉(zhuǎn),PE與線段AB相交于點M,PF與線段AC相交于點N.試判斷在這一旋轉(zhuǎn)過程中,四邊形PMAN的面積是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化,求出四邊形PMAN的面積y與PM的長x之間的函數(shù)關系式以及相應的自變量x的取值范圍;若不發(fā)生變化,求出此定值.
【答案】(1)當0<t≤4時,S=t2,當4<t≤時,S=-t2+8t-16,當<t<8時,S=t2-12t+48;(2)秒或t2=(12-4)秒;(3)8.
【解析】
試題(1)當PQ過A時求出t=4,當E在AB上時求出t=,當P到C點時t=8,即分為三種情況:根據(jù)三角形面積公式求出當0<t≤4時,S=t2,當4<t≤時,S=-t2+8t-16,當<t<8時,S=t2-12t+48;
(2)存在,當點D在線段AB上時,求出QD=PD=t,PD=2t,過點A作AH⊥BC于點H,PH=BH-BP=4-t,在Rt△APH中求出AP=,
(ⅰ)若AP=PQ,則有,
(ⅱ)若AQ=PQ,過點Q作QG⊥AP于點G,根據(jù)△PGQ∽△AHP求出PG=,若AQ=PQ,得出.
(ⅲ)若AP=AQ,過點A作AT⊥PQ于點T,得出4=×2t,求出方程的解即可;
(3)四邊形PMAN的面積不發(fā)生變化,連接AP,此時t=4秒,求出S四邊形PMAN=S△APM+S△APN=S△CPN+S△APN=S△ACP=×CP×AP=8.
試題解析:(1)當0<t≤4時,S=t2,當4<t≤時,S=-t2+8t-16,當<t<8時,S=t2-12t+48;(2)存在,理由如下:
當點D在線段AB上時,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)=45°.
∵PD⊥BC,
∴∠BPD=90°,
∴∠BDP=45°,
∴PD=BP=t,
∴QD=PD=t,
∴PQ=QD+PD=2t.
過點A作AH⊥BC于點H,
∵AB=AC,
∴BH=CH=BC=4,AH=BH=4,
∴PH=BH-BP=4-t,
在Rt△APH中,AP=;
(ⅰ)若AP=PQ,則有.
解得:,(不合題意,舍去);
(ⅱ)若AQ=PQ,過點Q作QG⊥AP于點G,如圖(1),
∵∠BPQ=∠BHA=90°,
∴PQ∥AH.
∴∠APQ=∠PAH.
∵QG⊥AP,
∴∠PGQ=90°,
∴∠PGQ=∠AHP=90°,
∴△PGQ∽△AHP,
∴,即,
∴,
若AQ=PQ,由于QG⊥AP,則有AG=PG,即PG=AP,
即.
解得:t1=12-4,t2=12+4(不合題意,舍去);
(ⅲ)若AP=AQ,過點A作AT⊥PQ于點T,如圖(2),
易知四邊形AHPT是矩形,故PT=AH=4.
若AP=AQ,由于AT⊥PQ,則有QT=PT,即PT=PQ,
即4=×2t.解得t=4.
當t=4時,A、P、Q三點共線,△APQ不存在,故t=4舍去.
綜上所述,存在這樣的t,使得△APQ成為等腰三角形,即秒或t2=(12-4)秒;
(3)四邊形PMAN的面積不發(fā)生變化.理由如下:
∵等腰直角三角形PQE,
∴∠EPQ=45°,
∵等腰直角三角形PQF,
∴∠FPQ=45°.
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=45°+45°=90°,
連接AP,如圖(3),
∵此時t=4秒,
∴BP=4×1=4=BC,
∴點P為BC的中點.
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AP⊥BC,AP=BC=CP=BP=4,∠BAP=∠CAP=∠BAC=45°,
∴∠APC=90°,∠C=45°,
∴∠C=∠BAP=45°,
∵∠APC=∠CPN+∠APN=90°,
∠EPF=∠APM+∠APN=90°,
∴∠CPN=∠APM,
∴△CPN≌△APM,
∴S△CPN=S△APM,
∴S四邊形PMAN=S△APM+S△APN=S△CPN+S△APN=S△ACP=×CP×AP=×4×4=8.
∴四邊形PMAN的面積不發(fā)生變化,此定值為8.
考點: 相似形綜合題.
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【題目】如圖,,,點在軸上,且.
(1)求點的坐標;
(2)求的面積;
(3)在軸上是否存在點,使以、、三點為頂點的三角形的面積為10?若存在,請直接寫出點的坐標.若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于點D,AE∥BD交CB的延長線于點E.若∠E=35°,則∠BAC的度數(shù)為( )
A. 40° B. 45° C. 60° D. 70°
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【題目】如圖,△ABC中,AD⊥BC于D,下列條件:①∠B+∠DAC=90°;②∠B=∠DAC;③=;④AB2=BDBC.其中一定能夠判定△ABC是直角三角形的有( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】如圖,G是正方形ABCD對角線AC上一點,作GE⊥AD,GF⊥AB,垂足分別為點E、F.
求證:四邊形AFGE與四邊形ABCD相似.
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【題目】在正方形中,連接,為射線上的一個動點(與點不重合),連接,的垂直平分線交線段于點,連接,.
提出問題:當點運動時,的度數(shù)是否發(fā)生改變?
探究問題:
(1)首先考察點的兩個特殊位置:
①當點與點重合時,如圖1所示,____________
②當時,如圖2所示,①中的結論是否發(fā)生變化?直接寫出你的結論:__________;(填“變化”或“不變化”)
(2)然后考察點的一般位置:依題意補全圖3,圖4,通過觀察、測量,發(fā)現(xiàn):(1)中①的結論在一般情況下_________;(填“成立”或“不成立”)
(3)證明猜想:若(1)中①的結論在一般情況下成立,請從圖3和圖4中任選一個進行證明;若不成立,請說明理由.
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【題目】(12分)如圖所示是隧道的截面由拋物線和長方形構成,長方形的長是12 m,寬是4 m.按照圖中所示的直角坐標系,拋物線可以用y=x2+bx+c表示,且拋物線上的點C到OB的水平距離為3 m,到地面OA的距離為m.
(1)求拋物線的函數(shù)關系式,并計算出拱頂D到地面OA的距離;
(2)一輛貨運汽車載一長方體集裝箱后高為6m,寬為4m,如果隧道內(nèi)設雙向車道,那么這輛貨車能否安全通過?
(3)在拋物線型拱壁上需要安裝兩排燈,使它們離地面的高度相等,如果燈離地面的高度不超過8m,那么兩排燈的水平距離最小是多少米?
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【題目】在平面直角坐標系中,如果點,點為某個菱形的一組對角的頂點,且點在直線上,那么稱該菱形為點的“伴隨菱形”,下圖為點的“伴隨菱形”的一個示意圖.
已知點的坐標為(1,1),點的坐標為.
(1)點中,能夠成為點的“伴隨菱形”的頂點的是__________________;
(2)如果四邊形是點的“伴隨菱形”.
①當點的坐標為時,求四邊形的面積;
②當四邊形中較小內(nèi)角的度數(shù)為60°時,求四邊形的面積;
③當四邊形的面積為8,且與直線有公共點時,直接寫出的取值范圍.
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