Question

在等腰直角三角形中，AB=AC，點D是BC的中點，點E、F分別為AB，AC邊上的點，且DE⊥DF．
（1）求證：BE²+CF²=EF²；
（2）若BE=12，CF=5，試求△DEF的面積．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),勾股定理

專題：計算題

分析：（1）延長ED到P，使DP=DE，連接FP，CP，利用SAS得到三角形BED與三角形CPD全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到BE=CP，再利用SAS得到撒尿性EDF和三角形PDF全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到EF=FP，利用等角的余角相等得到∠FCP為直角，在直角三角形FCP中，利用勾股定理列出關(guān)系式，等量代換即可得證；
（2）連接AD，由AB=AC，且D為BC的中點，利用三線合一得到AD垂直于BC，AD為角平分線，再由三角形ABC為等腰直角三角形，得到一對角相等，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由AD=CD，利用ASA得到三角形AED與三角形CFD全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到AE=CF=5，DE=DF，由AE+EB求出AB的長，即為AC的長，再由AC-CF求出AF的長，在直角三角形AEF中，利用勾股定理求出EF的長，再根據(jù)三角形DEF為等腰直角三角形求出DE與DF的長，即可確定出三角形DEF的面積．

解答：解：（1）延長ED到P，使DP=DE，連接FP，CP，
在△BED和△CPD中，

ED=PD ∠EDB=∠PDC BD=CD

，
∴△BED≌△CPD（SAS），
∴BE=CP，∠B=∠CPD，
在△EDF和△PDF中，

DE=DP ∠EDF=∠PDE=90° DF=DF

，
∴△EDF≌△PDF（SAS），
∴EF=FP，
∵∠B=∠DCP，∠A=90°，
∴∠B+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠DCP=90°，即∠FCP=90°，
在Rt△FCP中，根據(jù)勾股定理得：CF²+CP²=PF²，
∵BE=CP，PF=EF，
∴EF²=BE²+CF²；
（2）連接AD，
∵△ABC為等腰直角三角形，D為BC的中點，
∴∠BAD=∠FCD=45°，AD=BD=CD，AD⊥BC，
∵ED⊥FD，
∴∠EDA+∠ADF=90°，∠ADF+∠FDC=90°，
∴∠EDA=∠FDC，
在△AED和△CFD中，

∠EAD=∠FCD AD=DC ∠ADE=∠CDF

，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF=5，DE=DF，即△EDF為等腰直角三角形，
∴AB=AE+EB=5+12=17，
∴AF=AC-FC=AB-CF=17-5=12，
在Rt△EAF中，根據(jù)勾股定理得：EF=

AE2+AF2

=13，
設(shè)DE=DF=x，
根據(jù)勾股定理得：x²+x²=13²，
解得：x=

13 2

2

，即DE=DF=

13 2

2

，
則S_△DEF=

1

2

DE•DF=

169

4

．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．