【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點為坐標原點,拋物線與軸交于點,點,與軸交于點,連接,點在第二象限的拋物線上,連接,線段交線段于點.
(1)求拋物線的表達式;
(2)若的面積為,的面積為當時,求點的坐標;
(3)已知點關于拋物線對稱軸的對稱點為點,連接,點在軸上,當時,
①求滿足條件的所有點的坐標;
②當點在線段上時,點是線段外一點,,連接,將線段繞著點順時針旋轉,得到線段,連接,直接寫出線段的取值范圍.
【答案】(1);(2)或;(3)①或;②
【解析】
(1)將點A、B坐標代入解析式解答即可;
(2)先求出點C的坐標為(0,3),過點C作CG⊥OP于G,根據, ,得到,過點P作PF⊥x軸于F,過點E作EN⊥PF于N,得到,設點P的坐標為(a,),求出直線BC的解析式為y=x+3,得到E(,+3),根據2PF=5PN得到5(--3)=2(),求出x值即可得到點P的坐標;
(3)①先求出拋物線的對稱軸是直線x=-1,得到N(-2,3),求出直線BN的解析式為y=3x+9,分兩種情況:當點H在OB之間時,由,得到BN∥CH,得到直線CH的解析式為y=3x+3,即可求出點H的坐標為(-1,0);當點H在點B左側時,CH交BN于M,作直線OM,由得到BM=MC,故OM是BC的垂直平分線,求出交點M的坐標為(-,),再求出直線CM的解析式為y=x+3,即可得到點H的坐標為(-9,0);②如圖1,當點Q在x軸下方且MH⊥x軸時,MH最小,作QG⊥x軸,過點M作MF⊥QG于F,則四邊形MHGF是矩形,證明△BQG≌△QMF,得到FM=GQ,BG=FQ,利用勾股定理求出GQ=GH=,得到MH=FG=BG-FG=;如圖2,當點Q在x軸上方,且MH⊥x軸時,MH最大,過點Q作QG⊥x軸,QF⊥MH于F,則四邊形HGQF是矩形,同理:△BGQ≌△MFQ,得到QG=FQ=HG,BG=MF,利用勾股定理求出GQ=GH=,得到MH=BG+FH= ,即可得到MH的取值范圍.
(1)將點A、B的坐標代入中,得
,解得,
∴拋物線的表達式為;
(2)當x=0時,y=3,∴點C的坐標為(0,3),
過點C作CG⊥OP于G,
∵, ,,
∴,
∴,
過點P作PF⊥x軸于F,過點E作EN⊥PF于N,
∴EN∥OF,
∴,
設點P的坐標為(a,),
∴OF=-a,EN=-,
∴點E的橫坐標為,
∵B(3,0),C(0,3),
∴直線BC的解析式為y=x+3,
當x=時,y=+3,
∴E(,+3),
∵2PF=5PN,
∴5(--3)=2(),
解得,,
∴點P的坐標為(-1,4)或(-2,3);
(3)①∵,
∴拋物線的對稱軸是直線x=-1,
∵點關于拋物線對稱軸的對稱點為點,C(0,3),
∴N(-2,3),
設直線BN的解析式為y=kx+b,
∴,解得,
∴直線BN的解析式為y=3x+9,
當點H在OB之間時,如圖,
∵,
∴BN∥CH,
設直線CH的解析式為y=3x+m,將點C的坐標代入,得m=3,
∴直線CH的解析式為y=3x+3,
當y=0時,得x=-1,
∴點H的坐標為(-1,0);
當點H在點B左側時,如圖,CH交BN于M,作直線OM,
∵,
∴BM=MC,
∵OB=OC,
∴OM是BC的垂直平分線,
∴直線OM的解析式為y=-x,
解方程組,得,
∴點M的坐標為(-,),
設直線CM的解析式為y=cx+n,
∴,∴,
∴直線CM的解析式為y=x+3,
當y=0時x=-9,∴點H的坐標為(-9,0),
綜上,當時,點H的坐標為(-1,0)或(-9,0);
②如圖1,當點Q在x軸下方且MH⊥x軸時,MH最小,作QG⊥x軸,過點M作MF⊥QG于F,則四邊形MHGF是矩形,
∴FM=GH,FG=MH,
∵∠BQM=∠F=90°,
∴∠BQG+∠FQM=∠FMQ+∠FQM=90°,
∴∠BQG=∠FMQ,
∵∠BGQ=∠F,BQ=MQ,
∴△BQG≌△QMF,
∴FM=GQ,BG=FQ,
∴GQ=FM=GH,
∵QH=1,
∴GQ=GH=,
∴ MH=FG=BG-FG=;
如圖2,當點Q在x軸上方,且MH⊥x軸時,MH最大,過點Q作QG⊥x軸,QF⊥MH于F,則四邊形HGQF是矩形,
∴FQ=HG,FH=QG,
同理:△BGQ≌△MFQ,
∴QG=FQ=HG,BG=MF,
∵QH=1,
∴GQ=GH=,
∴MH=BG+FH= ,
∴MH的取值范圍是.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】甲騎摩托車從A地去B地,乙開汽車從B地去A地,同時出發(fā),勻速行駛,各自到達終點后停止,設甲、乙兩人間距離為s(單位:千米),甲行駛 的時間為t(單位:小時),s與t之間的函數(shù)關系如圖所示,有下列結論:①出發(fā)1小時時,甲、乙在途中相遇;②出發(fā)1.2小時時,乙比甲多行駛了50千米;③乙到終點時,甲離終點還有60千米;④甲的速度是乙速度的一半.其中,正確結論是 _____________ .(填序號)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+2交x軸于A(﹣1,0),B(4,0)兩點,交y軸于點C,與過點C且平行于x軸的直線交于另一點D,點P是拋物線上一動點.
(1)求拋物線解析式及點D坐標;
(2)點E在x軸上,若以A,E,D,P為頂點的四邊形是平行四邊形,求此時點P的坐標;
(3)過點P作直線CD的垂線,垂足為Q,若將△CPQ沿CP翻折,點Q的對應點為Q′.是否存在點P,使Q′恰好落在x軸上?若存在,求出此時點P的坐標;若不存在,說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1是實驗室中的一種擺動裝置,BC在地面上,支架ABC是底邊為BC的等腰直角三角形,擺動臂AD可繞點A旋轉,擺動臂DM可繞點D旋轉,AD=30,DM=10.
(1)在旋轉過程中,
①當A,D,M三點在同一直線上時,求AM的長.
②當A,D,M三點為同一直角三角形的頂點時,求AM的長.
(2)若擺動臂AD順時針旋轉90°,點D的位置由△ABC外的點D1轉到其內的點D2處,連結D1D2,如圖2,此時∠AD2C=135°,CD2=60,求BD2的長.
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【題目】2019年3月12日是第41個植樹節(jié),某單位積極開展植樹活動,決定購買甲、乙兩種樹苗,用800元購買甲種樹苗的棵數(shù)與用680元購買乙種樹苗的棵數(shù)相同,乙種樹苗每棵比甲種樹苗每棵少6元.
(1)求甲種樹苗每棵多少元?
(2)若準備用3800元購買甲、乙兩種樹苗共100棵,則至少要購買乙種樹苗多少棵?
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【題目】小澤和小帥兩同學分別從甲地出發(fā),騎自行車沿同一條路到乙地參加社會實踐活動.如圖折線和線段分別表示小澤和小帥離甲地的距離(單位:千米)與時間(單位:小時)之間函數(shù)關系的圖象,則當小帥到達乙地時,小澤距乙地的距離為_________千米.
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【題目】拋物線的部分圖象如圖所示,與x軸的一個交點坐標為,拋物線的對稱軸是下列結論中:
;;方程有兩個不相等的實數(shù)根;拋物線與x軸的另一個交點坐標為;若點在該拋物線上,則.
其中正確的有
A. 5個 B. 4個 C. 3個 D. 2個
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【題目】某水果商從批發(fā)市場用8000元購進了大櫻桃和小櫻桃各200千克,大櫻桃的進價比小櫻桃的進價每千克多20元.大櫻桃售價為每千克40元,小櫻桃售價為每千克16元.
(1)大櫻桃和小櫻桃的進價分別是每千克多少元?銷售完后,該水果商共賺了多少元錢?
(2)該水果商第二次仍用8000元錢從批發(fā)市場購進了大櫻桃和小櫻桃各200千克,進價不變,但在運輸過程中小櫻桃損耗了20%.若小櫻桃的售價不變,要想讓第二次賺的錢不少于第一次所賺錢的90%,大櫻桃的售價最少應為多少?
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