Question

14．已知關于x的一元二次方程x²-x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若方程的兩個實數(shù)根為x₁、x₂，且x₁+x₂+x₁•x₂=m²-1，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）由關于x的一元二次方程x²-x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根，可得△＞0，繼而求得實數(shù)m的取值范圍；
（2）由方程的兩個實數(shù)根為x₁、x₂，且x₁+x₂+x₁•x₂=m²-1，可得方程1+m=m²-1，繼而求得答案．

解答 解：（1）∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴△=b²-4ac=1-4m＞0，
即m＜$\frac{1}{4}$；

（2）由根與系數(shù)的關系可知：x₁+x₂=1，x₁•x₂=m，
∴1+m=m²-1，
整理得：m²-m-2=0，
解得：m=-1或m=2，
∵m＜$\frac{1}{4}$，
∴所求m的值為-1．

點評 此題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關系．注意△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根，若二次項系數(shù)為1，常用以下關系：x₁，x₂是方程x²+px+q=0的兩根時，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．