【題目】△ABC中,AD是BC邊上的高,BD=3,CD=1,AD=2,P、Q、R分別是BC、AB、AC邊上的動(dòng)點(diǎn),則△PQR周長的最小值為 .
【答案】
【解析】如圖1中,作P點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P′,作P點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)P″,連接P′P″,與AB交于點(diǎn)Q′,與AC交于點(diǎn)R′,連接PP′交AB于M,連接PP″交AC于N,
此時(shí)△PQ′R′的周長最小,這個(gè)最小值=P′P″,
∵PM=MP′,PN=NP″,
∴P′P″=2MN,
∴當(dāng)MN最小時(shí)P′P″最小.如圖2中,
∵∠AMP=∠ANP=90°,
∴A、M、P、N四點(diǎn)共圓,線段AP就是圓的直徑,MN是弦,
∵∠MAN是定值,
∴直徑AP最小時(shí),弦MN最小,
∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí),PA最小,此時(shí)MN最。
如圖3中,
∵在RT△ABD中,∠ADB=90°,AD=2,DB=3,
∴AB= ,在RT△ADC中,
∵∠ADC=90°,AD=2,CD=1,
∴AC= ,
∵DM⊥AB,DN⊥AC,
∴ ACDN= DCAD,
∴DN= ,AN= ,
∵∠MAD=∠DAB,∠AMD=∠ADB,
∴△AMD∽△ADB,∴ ,
∴ =AMAB,同理 =ANAC,
∴AMAB=ANAC,
∴ ,
∵∠MAN=∠CAB,∴△AMN∽△ACB,
∴ ,
∴ ,
∴MN= ,
∴△PQR周長的最小值=P′P″=2MN= .
故答案為: .
如圖1中,作P點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P′,作P點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)P″,連接P′P″,與AB交于點(diǎn)Q′,與AC交于點(diǎn)R′,連接PP′交AB于M,連接PP″交AC于N,此時(shí)△PQ′R′的周長最小,這個(gè)最小值=P′P″,然后證出P′P″=2MN,當(dāng)MN最小時(shí)P′P″最小.如圖2中, 根據(jù)圓周角定理得出A、M、P、N四點(diǎn)共圓,線段AP就是圓的直徑,MN是弦,又由于∠MAN是定值,故直徑AP最小時(shí),弦MN最小,從而知道當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí),PA最小,此時(shí)MN最小,如圖3中,首先根據(jù)勾股定理得出AB,AC的長度,然后根據(jù)面積法得出DN長,再根據(jù)勾股定理算出AN的長,進(jìn)而判斷出△AMD∽△ADB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出 A D 2 =AMAB,同理 A D 2 =ANAC,故AMAB=ANAC,從而再判斷出△AMN∽△ACB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出MN的長,從而得出答案。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】列方程解應(yīng)用題:
某玩具廠生產(chǎn)一種玩具,按照控制固定成本降價(jià)促銷的原則,使生產(chǎn)的玩具能夠及時(shí)售出,據(jù)市場調(diào)查:每個(gè)玩具按 元銷售時(shí),每天可銷售 個(gè);若銷售單價(jià)每降低元,每天可多售出 個(gè).已知每個(gè)玩具的固定成本為 元,問這種玩具的銷售單價(jià)為多少元時(shí),廠家每天可獲利潤 元?
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【題目】如圖,∠A=∠B,AE=BE,點(diǎn)D在AC邊上,∠1=∠2,AE和BD相交于點(diǎn)O.
(1)求證:△AEC≌△BED;
(2)若∠1=40°,求∠BDE的度數(shù).
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【題目】已知1+2+1=4=22,1+2+3+2+1=9=32,1+2+3+4+3+2+1=16=42,1+2+3+4+5+4+3+2+1=25=52.根據(jù)上面四式的計(jì)算規(guī)律求:1+2+3+…+2014+2015+2016+2015+2014+…+3+2+1=________(寫出某數(shù)的平方即可).
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,B,將沿過點(diǎn)A的直線折疊,使點(diǎn)B落在x軸的負(fù)半軸上,記作點(diǎn)C,折痕與y軸交于點(diǎn)D,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為______.
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【題目】甲、乙兩汽車,甲從A地去B地,乙從B地去A地,同時(shí)相向而行,1.5小時(shí)后兩車相遇.相遇后,甲車還需要2小時(shí)到達(dá)B地,乙車還需要小時(shí)到達(dá)A地.若A、B兩地相距210千米,試求甲乙兩車的速度.
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【題目】如圖,點(diǎn)C是以點(diǎn)O為圓心,AB為直徑的半圓上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)C不與點(diǎn)A,B重合),AB=4.設(shè)弦AC的長為x,△ABC的面積為y,則下列圖象中,能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】如圖,為△中與的平分線的交點(diǎn),分別過點(diǎn)、作,,若°,你能夠求出的度數(shù)嗎?若能請(qǐng)寫出解答過程.
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