Question

在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是拋物線y＝x²在第二象限上的點(diǎn)，連接OA，過點(diǎn)O作OB⊥OA，交拋物線于點(diǎn)B，以O(shè)A、OB為邊構(gòu)造矩形AOBC．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為　　　　時(shí)，矩形AOBC是正方形；
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為時(shí)，
①求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
②將拋物線y＝x²作關(guān)于x軸的軸對(duì)稱變換得到拋物線y＝－x²，試判斷拋物線y＝－x²經(jīng)過平移交換后，能否經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)？如果可以，說出變換的過程；如果不可以，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：(1) －1。
(2)�、龠^點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，

當(dāng)x＝－時(shí)，y＝(－)²＝，
即OE＝，AE＝。
∵∠AOE＋∠BOF＝180°－90°＝90°，21世
∠AOE＋∠EAO＝90°，
∴∠EAO＝∠BOF。
又∵∠AEO＝∠BFO＝90°，∴△AEO∽△OFB。
∴。
設(shè)OF＝t，則BF＝2t，∴t²＝2t，解得：t₁＝0(舍去)，t₂＝2。
∴點(diǎn)B(2，4)。
②過點(diǎn)C作CG⊥BF于點(diǎn)G，
∵∠AOE＋∠EAO＝90°，∠FBO＋∠CBG＝90°，∠EOA＝∠FBO，
∴∠EAO＝∠CBG。
在△AEO和△BGC中，∠AEO＝∠G=90⁰，∠EAO＝∠CBG,AO=BC，
∴△AEO≌△BGC(AAS)。∴CG＝OE＝，BG＝AE＝。
∴x_c＝2－，y_c＝4＋。∴點(diǎn)C()。
設(shè)過A(－，)、B(2，4)兩點(diǎn)的拋物線解析式為y＝－x²＋bx＋c，由題意得，
，得。
∴經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的拋物線解析式為y＝－x²＋3x＋2。
∵當(dāng)x＝時(shí)，y＝－()²＋3×＋2＝，∴點(diǎn)C也在此拋物線上。
∴經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式為y＝－x²＋3x＋2＝－(x－)²＋。
平移方案：先將拋物線y＝－x²向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到拋物線
y＝－(x－)²＋。

解析