【題目】如圖,ABC和DEF均是邊長為4的等邊三角形,DEF的頂點(diǎn)D為ABC的一邊BC的中點(diǎn),DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),且邊DF、DE始終分別交ABC的邊AB、AC于點(diǎn)H、G.圖中直線BC兩側(cè)的圖形關(guān)于直線BC成軸對(duì)稱.連結(jié)HH、HG、GG、HG,其中HH、GG分別交BC于點(diǎn)I、J.

(1)求證:DHB∽△GDC;

(2)設(shè)CG=x,四邊形HHGG的面積為y,

求y關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍;

求當(dāng)x為何值時(shí),y的值最大,最大值為多少?

【答案】(1)證明見解析;(2)y=+x)(4--)(1x4);x=2,y最大=4.

【解析】

試題分析:此題是幾何變換綜合題,主要考查相似三角形的性質(zhì)和判定以及對(duì)稱的性質(zhì),用x表示線段是解決本題的關(guān)鍵,也是難點(diǎn).

(1)由等邊三角形的特點(diǎn)得到相等關(guān)系,即可;

(2)由相似三角形得到=,再結(jié)合對(duì)稱,表示出相關(guān)的線段,四邊形HH′G′G的面積為y求出即可.

試題解析:(1)在正ABC中,ABC=ACB=60°

BHD+BDH=120°,

在正DEF中,EDF=60°,

GDC+BDH=120°,

BHD=GDC,

∴△DHB∽△GDC;

(2)①∵D為BC的中點(diǎn),

BD=CD=2,

DHB∽△GDC,

=,即=,

得BH=,

H,H′和G,G′關(guān)于BC對(duì)稱,

HHBC,GGBC,

在RTBHI中,BI=BH=,HI=BH=,

在RTCGJ中,CJ=CG=,GJ=CG=,

HH=2HI=,GG=2GJ=x,IJ=4--,

y=+x)(4--)(1x4),

得,y=+2+x),

設(shè)+x=a,得y=-a2+2a,

當(dāng)a=4時(shí),y最大=4,

此時(shí)+x=4,解得x=2.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖,有一條兩岸平行的河流,一數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)小組在無法涉水過河情況下,成功測得河的寬度,他們的做法如下:

正對(duì)河流對(duì)岸的一顆樹A,在河的一岸選定一點(diǎn)B;

沿河岸直走15步恰好到達(dá)一樹C處,繼續(xù)前行15步到達(dá)D處;

D處沿河岸垂直的方向行走,當(dāng)?shù)竭_(dá)A樹正好被C樹遮擋住的E處時(shí),停止行走;

測得DE的長就是河寬.

請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)知識(shí)說明他們做法是正確的.

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C.36°
D.30°

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【題目】設(shè)函數(shù)(其中k為常數(shù)).

(1)當(dāng)k=-2時(shí),函數(shù)y存在最值嗎?若存在,請(qǐng)求出這個(gè)最值;

(2)在x>0時(shí),要使函數(shù)y的的值隨x的增大而減小,求k應(yīng)滿足的條件;

(3)若函數(shù)y的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,求能使ABC為等腰三角形的k的值.(分母保留根號(hào),不必化簡)

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【題目】下列運(yùn)算正確的是(  )

A. a4+a2=a4 B. (x2y)3=x6y3

C. (m﹣n)2=m2﹣n2 D. b6÷b2=b3

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【題目】(12分)如圖,直角三角形的頂點(diǎn)A、Bx軸上,ABC=90 BC//y軸,且C點(diǎn)在第二象限,B點(diǎn)為(-3,0),將直角三角形ABC沿x軸水平向右平移m個(gè)單位,得到對(duì)應(yīng)的直角三角形DEF,其中點(diǎn)A、B、C分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)D、E、F,求:

(1)用含m的式子表示E點(diǎn)坐標(biāo)及AD的長度;

(2)若C點(diǎn)為(-3,n),設(shè)四邊形BEFC的周長為y,試用含m、n的式子表示周長y;

(3)在(2)的條件下,點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別以1個(gè)單位/秒,2個(gè)單位/秒的速度同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā),其中,P點(diǎn)沿BC→F→E→B的方向運(yùn)動(dòng),Q點(diǎn)沿BE→F→C→B的方向運(yùn)動(dòng),相遇時(shí)則停止運(yùn)動(dòng)。當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí),Q點(diǎn)恰到達(dá)E點(diǎn);從B點(diǎn)出發(fā)起,6秒后P點(diǎn)與Q點(diǎn)相遇停止了運(yùn)動(dòng),求四邊形ADFC的面積。

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【題目】為了解我縣2019年八年級(jí)末數(shù)學(xué)學(xué)科成績,從中抽取200名八年級(jí)學(xué)生期末數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,在這個(gè)問題中,樣本是指( 。

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