【題目】如圖1,菱形ABCD中,已知∠BAD=120°,∠EGF=60°,∠EGF的頂點G在菱形對角線AC上運動,角的兩邊分別交邊BC,CD于點E,F(xiàn).

(1)如圖2,當頂點G運動到與點A重合時,求證:EC+CF=BC;

(2)知識探究:①如圖3,當頂點G運動到AC中點時,探究線段EC,CF與BC的數(shù)量關系;
②在頂點G的運動過程中,若 =t,請直接寫出線段EC,CF與BC的數(shù)量關系(不需要寫出證明過程);

(3)問題解決:如圖4,已知菱形邊長為8,BG=7,CF= ,當t>2時,求EC的長度.

【答案】
(1)證明:如圖2中,在CA上取一點M,使得CM=CE,連接EM.

∵四邊形ABCD是菱形,∠BAD=120°,

∴AB=BC=CD=AD,∠CAB=∠CAD=60°,

∴△ABC,△ACD都是等邊三角形,

∴∠AB=AC,∠BAC=∠EAF=60°,∠B=∠ACF=60°,

∴∠BAE=∠CAF,

在△BAE和△CAF中, ,

∴△ABE≌△ACF,

∴AE=AF,∵∠EAF=60°,

∴△AEF是等邊三角形,

∵CE=CM,∠ECM=60°,

∴△ECM是等邊三角形,

∴∠AEF=∠MEC=60°,AE=EF,EM=EC,

∴∠AEM=∠FEC,

在△AEM和△FEC中,

,

∴△AEM≌△FEC,

∴AM=CF,

∴BC=AC=AM+CM=EC+CF


(2)解:①結論:EC+CF= BC.

理由:如圖3中,取BC中點P,CD中點Q,連接PG、GQ.

∵AG=GC,CPB,CQ=DQ,

∴PG∥AB,GQ∥QD,

∴∠CPG=∠B=60°,∠CGP=∠CAB=60°,

∴△CPG是等邊三角形,同理可證△CQG是等邊三角形,

由(1)可知,CE+CF=PC= BC.

②結論:CE+CF=

理由:如圖4中,作GP∥AB交BC于P,GQ∥AD交CD于Q.

∴PG∥AB,GQ∥QD,

∴∠CPG=∠B=60°,∠CGP=∠CAB=60°,

∴△CPG是等邊三角形,同理可證△CQG是等邊三角形,

由(1)可知,CE+CF=PC=CG,

∵AC=BC=tCG,

∴CE+CF=


(3)如圖4中,作BM⊥AC于M.

∵t>2,

∴點G在線段CM上,

在Rt△ABM中,∵∠BMC=90°,BM= ×8=4 ,BG=7,

∴MG= = =1,

∵CM=MA=4,

∴CG=CM﹣MG=3,

由(1)可知,CG=CE+CF,

∴CE=CG﹣CF=3﹣ =


【解析】(1)如圖2中,在CA上取一點M,使得CM=CE,連接EM.首先證明△ABE≌△ACF,再證明△AEM≌△FEC,即可解決問題.(2)①結論:EC+CF= BC.如圖3中,取BC中點P,CD中點Q,連接PG、GQ.利用(1)的結論解決問題.②結論:CE+CF= .如圖4中,作GP∥AB交BC于P,GQ∥AD交CD于Q.利用(1)的結論解決問題.(3)如圖4中,作BM⊥AC于M.利用(1)的結論:CG=CE+CF,求出CE即可解決問題.
【考點精析】掌握全等三角形的性質和菱形的性質是解答本題的根本,需要知道全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等;菱形的四條邊都相等;菱形的對角線互相垂直,并且每一條對角線平分一組對角;菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形;菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半.

練習冊系列答案
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b2-x2=c2-(a-x)2,所以a2+b2=c2+2ax,

因為a>0,x>0,所以2ax>0,所以a2+b2>c2,

所以當△ABC為銳角三角形時a2+b2>c2.

所以小明的猜想是正確的.

(1)請你猜想,當△ABC為鈍角三角形時,a2+b2c2的大小關系;

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