Question

3．如圖1，在△ABC中，D、E、F分別為三邊的中點，G點在AB邊上，△BDG與四邊形ACDG的周長相等．
（1）求證：BG=AG+AC；
（2）求證：∠BGD=$\frac{1}{2}∠A$；
（3）如圖2，連接CG交DE于點H，若BG⊥CG，探索線段DG、DH、AC之間滿足的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)周長相等，列出等式即可證明．
（2）想辦法證明FG=FD，得到∠FGD=∠FDG，∠A=∠BFD，由此即可證明．
（3）結(jié)論；DG²=AC•DH，：作FM⊥DG于M，只要證明△DFM∽△DGH，得到$\frac{DF}{DG}$=$\frac{DM}{DH}$，用DF=$\frac{1}{2}$AC．DM=$\frac{1}{2}$DG代入即可解決問題．

解答 （1）證明：∵△BDG與四邊形ACDG的周長相等，
∴BD+DG+BG=BG+AG+AC+CD，
∵BD=DC，
∴BG=AG+AC．
（2）證明：∵BF=AF，BD=DC，
∴DF∥AC，DF=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠BFD=∠A，
∵BG=AG+AC，
∴BG=AB-BG+AC，
∴2BG=AB+AC，
∴BG=$\frac{1}{2}$AB+$\frac{1}{2}$AC，
∴BG=BF+DF=BF+FG，
∴DF=FG，
∴∠FGD=∠FDG，
∵∠BFD=∠FGD+∠FDG=2∠FGD，
∴∠A=2∠FGD，
∴∠FGD=$\frac{1}{2}$∠A．
（3）結(jié)論：DG²=AC•DH，理由：
證明：作FM⊥DG于M，
∵FD=FG（已證），
∴∠FGD=∠FDG，DM=GM，
∵BD=DC，AE=EC，
∴DE∥AB，
∴∠FGD=∠GDH，
∴∠FDM=∠GDH，
∵∠FMD=∠GHD=90°，
∴△DFM∽△DGH，
∴$\frac{DF}{DG}$=$\frac{DM}{DH}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}AC}{DG}$=$\frac{\frac{1}{2}DG}{DH}$，
∴DG²=AC•DH．
補(bǔ)充方法：△FGD∽△DGB得到DG²=FG•BG，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$AC，BG=2DH得DG²=AC•DH．

點評 本題考查三角形中位線定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造相似三角形，屬于中考常考題型．