Question

14．閱讀材料，并完成下列問題：
不難求得方程x+$\frac{1}{x}$=3+$\frac{1}{3}$的解是x₁=3，x₂=$\frac{1}{3}$；
x+$\frac{1}{x}$=4+$\frac{1}{4}$的解是x₁=4，x₂=$\frac{1}{4}$；
x+$\frac{1}{x}$=5+$\frac{1}{5}$的解是x₁=5，x₂=$\frac{1}{5}$；
（1）觀察上述方程及其解，可猜想關(guān)于x的方程x+$\frac{1}{x}$=m+$\frac{1}{m}$（m≠0）的解是${x}_{1}=m，{x}_{2}=\frac{1}{m}$．
（2）試用“求出關(guān)于x的方程x+$\frac{1}{x}$=m+$\frac{1}{m}$（m≠0）的解”的方法證明你的猜想；
（3）利用你猜想的結(jié)論，解關(guān)于x的方程$\frac{{x}^{2}-x+1}{x-1}$=m+$\frac{1}{m-1}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題目中的材料可以直接得到關(guān)于x的方程x+$\frac{1}{x}$=m+$\frac{1}{m}$（m≠0）的解；
（2）根據(jù)解方程的方法可以求得關(guān)于x的方程x+$\frac{1}{x}$=m+$\frac{1}{m}$（m≠0）的解，從而可以證明猜想；
（3）對所求的方程進行變形，變?yōu)榍懊嬉呀?jīng)猜想證明的方程的形式，從而可以解答本題．

解答 解：（1）由題意可得，
關(guān)于x的方程x+$\frac{1}{x}$=m+$\frac{1}{m}$（m≠0）的解是：${x}_{1}=m，{x}_{2}=\frac{1}{m}$，
故答案是：${x}_{1}=m，{x}_{2}=\frac{1}{m}$；
（2）∵x+$\frac{1}{x}$=m+$\frac{1}{m}$（m≠0），
∴$\frac{{x}^{2}+1}{x}=\frac{{m}^{2}+1}{m}$，
∴mx²+m=（m²+1）x，
∴mx²-（m²+1）x+m=0，
∴（mx-1）（x-m）=0，
∴mx-1=0或x-m=0
解得，${x}_{1}=\frac{1}{m}，{x}_{2}=m$；
（3）∵$\frac{{x}^{2}-x+1}{x-1}$=m+$\frac{1}{m-1}$
∴$\frac{x（x-1）+1}{x-1}=m+\frac{1}{m-1}$，
∴x+$\frac{1}{x-1}=m+\frac{1}{m-1}$，
∴x-1+$\frac{1}{x-1}=m-1+\frac{1}{m-1}$，
∴x-1=m-1或x-1=$\frac{1}{m-1}$，
解得，${x}_{1}=m，{x}_{2}=\frac{m}{m-1}$．

點評 本題考查分式方程的解，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用猜想證明的方法解答本題．