Question

如圖，已知A（﹣4，0），B（0，4），現(xiàn)以A點為位似中心，相似比為9：4，將OB向右側(cè)放大，B點的對應(yīng)點為C．

（1）求C點坐標及直線BC的解析式；
（2）一拋物線經(jīng)過B、C兩點，且頂點落在x軸正半軸上，求該拋物線的解析式并畫出函數(shù)圖象；
（3）現(xiàn)將直線BC繞B點旋轉(zhuǎn)與拋物線相交與另一點P，請找出拋物線上所有滿足到直線AB距離為的點P．

Answer 1

（1）C，所以y=x+4；（2）；（3），，，.

試題分析：（1）利用相似及相似比，可得到C的坐標．把A，B代入一次函數(shù)解析式即可求得解析式的坐標．
（2）頂點落在x軸正半軸上說明此函數(shù)解析式與x軸有一個交點，那么△=0，再把B，C兩點即可．
（3）到直線AB的距離為的直線有兩條，可求出這兩條直線解析式，和二次函數(shù)解析式組成方程組，求得點P坐標．
（1）過C點向x軸作垂線，垂足為D，

由位似圖形性質(zhì)可知：△ABO∽△ACD，
∴．
由已知，可知：．
∴．
∴C點坐標為．
設(shè)直線BC的解析式為： y=kx+4，將（5，9）代入得5k+4=9，解得k=1.
所以y=x+4.
（2）因為拋物線頂點在x軸正半軸，所以設(shè)頂點坐標為（h，0），則設(shè)拋物線解析式為y=a（x－h(huán)）².
將（0，4），（5，9）代入函數(shù)解析式得，解得或者.
∴解得拋物線解析式為或．
又∵的頂點在x軸負半軸上，不合題意，故舍去．
∴滿足條件的拋物線解析式為
（準確畫出函數(shù)圖象） 
（3）將直線BC繞B點旋轉(zhuǎn)與拋物線相交與另一點P，設(shè)P到 直線AB的距離為h，
故P點應(yīng)在與直線AB平行，且相距的上下兩條平行直線和上．
由平行線的性質(zhì)可得：兩條平行直線與y軸的交點到直線BC的距離也為．
設(shè)與y軸交于E點，過E作EF⊥BC于F點，
在Rt△BEF中，，
∴．
∴可以求得直線與y軸交點坐標為
同理可求得直線與y軸交點坐標為
∴兩直線解析式；．
根據(jù)題意列出方程組：（1）；（2）
∴解得：；；；
∴滿足條件的點P有四個，它們分別是，，，.
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．