【題目】(給出定義)
若四邊形的一條對角線能將四邊形分割成兩個相似的直角三角形,那么我們將這種四邊形叫做“跳躍四邊形”,這條對角線叫做“跳躍線”.
(理解概念)
(1)命題“凡是矩形都是跳躍四邊形”是什么命題(“真”或“假”).
(2)四邊形ABCD為“跳躍四邊形”,且對角線AC為“跳躍線”,其中AC⊥CB,∠B=30°,AB=4,求四邊形ABCD的周長.
(實際應用)已知拋物線y=ax2+m(a≠0)與x軸交于B(﹣2,0),C兩點,與直線y=2x+b交于A,B兩點.
(3)直接寫出C點坐標,并求出拋物線的解析式.
(4)在線段AB上有一個點P,在射線BC上有一個點Q,P,Q兩點分別以個單位/秒,5個單位/秒的速度同時從B出發(fā),沿BA,BC方向運動,設運動時間為t,當其中一個點停止運動時,另一個點也隨之停止運動.在第一象限的拋物線上是否存在點M,使得四邊形BQMP是以PQ為“跳躍線”的“跳躍四邊形”,若存在,請直接寫出t的值;若不存在,請說明理由.
【答案】【理解概念】(1)凡是矩形都是跳躍四邊形是真命題;(2)四邊形ABCD的周長為12+4或12+8或9+5;【實際應用】(3),;(4)使得四邊形BQMP是以PQ為“跳躍線”的“跳躍四邊形”的時間t的值為:t=,t=,t=,t=.
【解析】
理解概念:(1)由定義可直接得;
(2)分情況∠DAC=90°和∠ADC=90°兩種情況討論,可求四邊形ABCD的周長;
實際應用:(3)根據(jù)點B,點C關于對稱軸對稱,可求點C坐標,用待定系數(shù)法可求拋物線解析式;
(4)由題意可證△ABO∽△BPQ,可證PQ⊥AB,四邊形BQMP是以PQ為“跳躍線”的“跳躍四邊形”,可得△BPQ∽△PQM,分∠PQM=90°或∠PMQ=90°兩種情況討論,可求t的值.
理解概念:(1)∵矩形的對角線所分的兩個三角形全等
∴凡是矩形都是跳躍四邊形是真命題
故答案為:凡是矩形都是跳躍四邊形是真命題.
(2)∵AC⊥BC,∠B=30°,AB=4
∴AC=2,BC=6
當∠CAD=90°時,
如圖1:
∵四邊形ABCD為“跳躍四邊形”
∴△ABC∽△CAD
∴ 或
∴AD=2,CD=4或AD=6,CD=4
∴四邊形ABCD的周長=AB+BC+CD+AD=2+4+4+6=12+4
或四邊形ABCD的周長=AB+BC+CD+AD=6+4+6+4=12+8
若∠ADC=90°
如圖2:
∵四邊形ABCD為“跳躍四邊形”
∴△ABC∽△CAD
∴ 或
∴AD=,CD=3或AD=3,CD=
∴四邊形ABCD的周長=AB+BC+CD+AD=6+4+3+=9+5
或四邊形ABCD的周長=AB+BC+CD+AD=6+4+3+=9+5
綜上所述:四邊形ABCD的周長為12+4或12+8或9+5
實際應用:(3)∵拋物線y=ax2+m(a≠0)與x軸交于B(﹣2,0),C兩點
∴頂點坐標為(0,m),對稱軸為y軸,點B,點C關于對稱軸對稱
∴點C(2,0)
∵拋物線y=ax2+m與直線y=2x+b交于點A,點B
∴
∴m=b=4,a=﹣1
∴拋物線解析式y(tǒng)=﹣x2+4
∵P,Q兩點分別以 個單位/秒,5個單位/秒的速度
∴設運動時間為t
∴BP=t,BQ=5t
∵點A(0,4),點B(﹣2,0)
∴OA=4,OB=2
∴AB=2
∵且∠ABO=∠PBQ
∴△ABO∽△PBQ
∴∠AOB=∠BPQ=90°
∵四邊形BQMP是以PQ為“跳躍線”的“跳躍四邊形
∴△BPQ∽△PQM
∴△PQM是直角三角形
①若∠PQM=90°時,且BP與QM是對應邊,作PD⊥BC,作ME⊥BC.
如圖3
∵△BPQ∽△PQM
∴
∴BP=QM,PM=BQ
∴四邊形BPMQ是平行四邊形
∴BP∥QM
∴∠PBD=∠MQE
∵BP=MQ,∠PBD=∠MQE,∠PDB=∠MEQ
∴△BPD≌△MQE
∴PD=ME,BD=QE
∵PD∥AO
∴
∴
∴BD=t,PD=2
∴QE=t,ME=2t
∴OE=BQ+QE﹣BO=6t﹣2
∴M(6t﹣2,2t),且點M在拋物線上
∴2t=﹣(6t﹣2)2+4
∴t=
②若∠PQM=90°時,且BP與PQ是對應邊,作PD⊥BC,作ME⊥BC.
如圖4
∵△BPD∽△MQE
∴
即
∴QM=4t
∵∠BQP+∠PBQ=90°,∠BQP+∠MQE=90°
∴∠PBQ=∠MQE且∠BPQ=∠MEQ=90°
∴△BPQ∽△MEQ
∴
∴ME=8t,QE=4t
∴OE=BQ+QE﹣BO=9t﹣2
∴M(9t﹣2,8t),且點M在拋物線上
∴8t=﹣(9t﹣2)2+4
∴t=
③若∠PMQ=90°,BP與MQ是對應邊,過點P作PD⊥BC
如圖5
∵△BPQ∽△MQP
∴∠PQB=∠MPQ
∴PM∥BC
∵MQ⊥PM
∴MQ⊥BC,且PD⊥BC
∴MQ∥PD
∴四邊形PDQM是平行四邊形且PD⊥BC
∴四邊形PDQM是矩形
∴PD=MQ
∵BD=t,PD=2t,BQ=5t
∴QM=2t
∵OQ=BQ﹣BO=5t﹣2
∴M(5t﹣2,2t)且點M在拋物線上
∴2t=﹣(5t﹣2)2+4
∴t=
若若∠PMQ=90°,BP與MP是對應邊,過點M作EF∥BC,過點P作PD⊥BC,延長DP交EF于F,
過點Q作EQ⊥EF于F.
如圖6
∵△BPQ∽△PMQ
∴∠MQP=∠BQP
又∵PD⊥BC,PM⊥MQ
∴PD=PM=2t
∵PD=PM,PQ=PQ
∴△PDQ≌△PQM
∴MQ=DQ=BQ﹣BD=5t﹣t=4t
∵FE∥BC,EQ⊥EF,DFBC
∴DF⊥EF,EQ⊥BC
∴四邊形EFDQ是矩形
∴EF=DQ=4t
∵∠FMP+∠FPM=90°,∠EMQ+∠FMP=90°
∴∠FPM=∠EMQ且∠E=∠MFD=90°
∴△FMP∽△MEQ
∴
∴EQ=2FM
在Rt△MEQ中,MQ2=EQ2+ME2
∴(4t)2=(2FM)2+(4t﹣FM)2
∴FM=t
∴EQ=t
∴M(t﹣2, t),且點M在拋物線上
∴ t=﹣( t﹣2)2+4
∴t=
綜上所述:使得四邊形BQMP是以PQ為“跳躍線”的“跳躍四邊形”的時間t的值為:t= ,t= ,t= ,t=
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為響應國家的“一帶一路”經(jīng)濟發(fā)展戰(zhàn)略,樹立品牌意識,我市質(zhì)檢部門對A、B、C、D四個廠家生產(chǎn)的同種型號的零件共2000件進行合格率檢測,通過檢測得出C廠家的合格率為95%,并根據(jù)檢測數(shù)據(jù)繪制了如圖1、圖2兩幅不完整的統(tǒng)計圖.
(1)抽查D廠家的零件為 件,扇形統(tǒng)計圖中D廠家對應的圓心角為 ;
(2)抽查C廠家的合格零件為 件,并將圖1補充完整;
(3)通過計算說明合格率排在前兩名的是哪兩個廠家.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知∠ADB,作圖.
步驟1:以點D為圓心,適當長為半徑畫弧,分別交DA、DB于點M、N;再分別以點M、N為圓心,大于MN長為半徑畫弧交于點E,畫射線DE.
步驟2:在DB上任取一點O,以點O為圓心,OD長為半徑畫半圓,分別交DA、DB、DE于點P、Q、C;
步驟3:連結PQ、OC.
則下列判斷:①;②OC∥DA;③DP=PQ;④OC垂直平分PQ,其中正確的結論有( 。
A. ①③④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,點E是邊CD上一點,且BC=EC,CF⊥BE交AB于點F,P是EB延長線上一點,下列結論:①BE平分∠CBF;②CF平分∠DCB;③BC=FB;④PF=PC.其中正確結論的個數(shù)為( )
A.1B.2C.3D.4
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(2,4)和B(﹣1,﹣5)兩點.
(1)求出該一次函數(shù)的表達式;
(2)畫出該一次函數(shù)的圖象;
(3)判斷(﹣5,﹣4)是否在這個函數(shù)的圖象上?
(4)求出該函數(shù)圖象與坐標軸圍成的三角形面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】列方程或方程組解應用題:
為了響應“十三五”規(guī)劃中提出的綠色環(huán)保的倡議,某校文印室提出了每個人都踐行“雙面打印,節(jié)約用紙”.已知打印一份資料,如果用A4厚型紙單面打印,總質(zhì)量為400克,將其全部改成雙面打印,用紙將減少一半;如果用A4薄型紙雙面打印,這份資料的總質(zhì)量為160克,已知每頁薄型紙比厚型紙輕0.8克,求A4薄型紙每頁的質(zhì)量.(墨的質(zhì)量忽略不計)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,在DC的延長線上取一點E,連接OE交BC于點F,已知AB=6,BC=8,CE=2
(1)求CF的長.
(2)設△COF的面積為S1,△COD的面積為S2,直接寫出S1:S2的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD紙片上有一點P,PA=1,PD=2,PC=3,現(xiàn)將△PCD剪下,并將它拼到如圖所示位置(C與A重合,P與G重合,D與D重合),則∠APD的度數(shù)為( )
A.150°B.135°C.120°D.108°
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,A,B兩點的坐標分別是(0,4),(0,﹣4),點C是x軸上一個動點,過點B作直線BH⊥AC于點H,過點C作CD∥y軸,交BH于點D,點C在x軸上運動的過程中,點D不可能經(jīng)過的點是( )
A. (2,﹣3) B. (1,﹣3) C. (4,0) D. (0,﹣4)
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