Question

【題目】已知邊長為2a的正方形ABCD，對角線AC、BD交于點Q，對于平面內(nèi)的點P與正方形ABCD，給出如下定義：如果，則稱點P為正方形ABCD的“關聯(lián)點”.在平面直角坐標系xOy中，若A（﹣1，1），B（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），D（1，1）.

（1）在，，中，正方形ABCD的“關聯(lián)點”有_____；

（2）已知點E的橫坐標是m，若點E在直線上，并且E是正方形ABCD的“關聯(lián)點”，求m的取值范圍；

（3）若將正方形ABCD沿x軸平移，設該正方形對角線交點Q的橫坐標是n，直線與x軸、y軸分別相交于M、N兩點.如果線段MN上的每一個點都是正方形ABCD的“關聯(lián)點”，求n的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）正方形ABCD的“關聯(lián)點”為P2，P3；（2）或；（3）.

【解析】

（1）正方形ABCD的“關聯(lián)點”中正方形的內(nèi)切圓和外切圓之間（包括兩個圓上的點），由此畫出圖形即可判斷；

（2）因為E是正方形ABCD的“關聯(lián)點”，所以E在正方形ABCD的內(nèi)切圓和外接圓之間（包括兩個圓上的點），因為E在直線上，推出點E在線段FG上，求出點F、G的橫坐標，再根據(jù)對稱性即可解決問題；

（3）因為線段MN上的每一個點都是正方形ABCD的“關聯(lián)點”，分兩種情形：①如圖3中，MN與小⊙Q相切于點F，求出此時點Q的橫坐標；②M如圖4中，落在大⊙Q上，求出點Q的橫坐標即可解決問題；

（1）由題意正方形ABCD的“關聯(lián)點”中正方形的內(nèi)切圓和外切圓之間（包括兩個圓上的點），

觀察圖象可知：正方形ABCD的“關聯(lián)點”為P2，P3；

（2）作正方形ABCD的內(nèi)切圓和外接圓，

∴OF＝1，，.

∵E是正方形ABCD的“關聯(lián)點”，

∴E在正方形ABCD的內(nèi)切圓和外接圓之間（包括兩個圓上的點），

∵點E在直線上，

∴點E在線段FG上.

分別作FF’⊥x軸，GG’⊥x軸，

∵OF＝1，，

∴，.

∴.

根據(jù)對稱性，可以得出.

∴或.

（3）∵、N（0，1），

∴，ON＝1.

∴∠OMN＝60°.

∵線段MN上的每一個點都是正方形ABCD

的“關聯(lián)點”，

①MN與小⊙Q相切于點F，如圖3中，

∵QF＝1，∠OMN＝60°，

∴.

∵，

∴.

∴.

②M落在大⊙Q上，如圖4中，

∵，，

∴.

∴.

綜上：.