【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)的坐標(biāo)為,,且

求經(jīng)過(guò),,三點(diǎn)的拋物線的解析式.

中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn),使的周長(zhǎng)最?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

若點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn),點(diǎn)為對(duì)稱軸上一點(diǎn),是否存在點(diǎn),使得,,,構(gòu)成的四邊形是平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)拋物線解析式為;(2)存在,點(diǎn)C的坐標(biāo)為.(3)存在,點(diǎn)M的坐標(biāo)為:、.

【解析】

試題分析: (1)先確定出點(diǎn)B坐標(biāo),再用待定系數(shù)法即可;

(2)先判斷出使△BOC的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)C的位置,再求解即可;

(3)分OA為對(duì)角線和為邊兩種情況進(jìn)行討論計(jì)算.

試題解析:

(1)過(guò)點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D,由已知可得:OB=OA=2,∠BOD=60°,

在Rt△OBD中,∠ODB=90°,∠OBD=30°

∴OD=1,DB=

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1,).

設(shè)所求拋物線的解析式為,

由已知可得:,

解得:

∴所求拋物線解析式為.

(2)存在,

又∵OB=2

∴要使△BOC的周長(zhǎng)最小,必須BC+CO最小,

∵點(diǎn)O和點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱

∴連接AB與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)C

且有OC=OA

此時(shí);

點(diǎn)C為直線AB與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)

設(shè)直線AB的解析式為,

將點(diǎn)分別代入,得:

,

解得:,

∴直線AB的解析式為,

當(dāng)x=﹣1時(shí),y=,

∴所求點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

(3)①當(dāng)以O(shè)A為對(duì)角線時(shí)

OA與MN互相垂直且平分

∴點(diǎn)M

②當(dāng)以O(shè)A為邊時(shí)

OA=MN且OA//MN

即MN=2,MN//x軸

設(shè)N(-1,t)

則M(-3,t)或(1,t)

綜上:點(diǎn)M的坐標(biāo)為:

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