Question

（2003•南昌）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，P是經(jīng)過(guò)O（0，0）、A（0，2）、B（2，0）的圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P與O、B不重合），則∠AOB=    度，∠OPB=    度．

Answer 1

【答案】分析：由于x軸、y軸互相垂直，易知∠AOB=90°；根據(jù)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，可得OA=OB，即△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=45°．①當(dāng)P點(diǎn)在OB上方的優(yōu)弧上時(shí)，∠OPB和∠OAB是同弧所對(duì)的圓周角，因此兩角相等；②當(dāng)P點(diǎn)在OB下方的劣弧上時(shí)，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，可求得∠OPB的度數(shù)．
解答：解：由題意知∠AOB=90°，OA=OB=2；
∴△AOB是等腰直角三角形，∠OAB=45°；
∴∠OCB=∠OAB=45°；
①當(dāng)P點(diǎn)在優(yōu)弧OAB上時(shí)，∠OPB=∠OAB=45°；
②當(dāng)P點(diǎn)在劣弧OB上時(shí)，∠OPB=180°-∠OAB=135°；
因此∠AOB=90°，∠OPB=45°或135°．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．注意P點(diǎn)的位置有兩種情況，要分類(lèi)討論，以免漏解．