Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A（-1，0）為圓心，AO為半徑的圓交x軸負(fù)半軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)F在⊙A上，過點(diǎn)F的切線交y軸正半軸于點(diǎn)E，交x軸正半軸于點(diǎn)C，已知CF=．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求證：AE∥BF；
（3）延長BF交y軸于點(diǎn)D，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及直線BD的解析式．

Answer 1

（1）解：因?yàn)橐渣c(diǎn)A（-1，0）為圓心，AO為半徑的圓交x軸負(fù)半軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)F在⊙A上，過點(diǎn)F的切線交y軸正半軸于點(diǎn)E，交x軸正半軸于點(diǎn)C，連接AF．
所以O(shè)A=AB=AF=1，∠AFC=90°，
因?yàn)镃F=，由勾股定理得AC===3．
所以O(shè)C=3-1=2，
所以C（2，0）．

（2）證明：∵OA⊥OD，AO是半徑，
∴OD是⊙A的切線．
∵EF是⊙A的切線，
∴EF=EO
∵AE=AE，AF=AO，
∴△AFE≌△AOE．
∴∠EAC=∠FAE=∠FAO，
∵∠B=∠FAO，
∴∠B=∠EAC．
∴AE∥BF．

（3）解：作FM⊥BC于M，因?yàn)镕M==，MC==，OM=MC-OC=
∴F（-，）．
設(shè)BF為y=kx+b，
則
解之，得．
所以直線BD的解析式為y=x+．
令x=0，則y=，所以D（0，）．
分析：（1）因?yàn)橐渣c(diǎn)A（-1，0）為圓心，AO為半徑的圓交x軸負(fù)半軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)F在⊙A上，過點(diǎn)F的切線交y軸正半軸于點(diǎn)E，交x軸正半軸于點(diǎn)C，可連接AF，由切線的性質(zhì)可得∠AFC=90°，因?yàn)镃F=，由勾股定理可求AC===3，進(jìn)而求出C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)OA⊥OD，AO是半徑，可得OD是⊙A的切線，因?yàn)镋F是⊙A的切線，所以EF=EO，進(jìn)而可證△AFE≌△AOE，
得∠EAC=∠FAE=∠FAO，因?yàn)椤螧=∠FAO，所以∠B=∠EAC，AE∥BF．
（3）可作FM⊥BC于M，利用直角三角形的面積可求FM==，利用勾股定理可求MC==，進(jìn)而求出OM=MC-OC，寫出F的坐標(biāo)即可；
因?yàn)檠娱LBF交y軸于點(diǎn)D，已知B、F的坐標(biāo)，所以可設(shè)BF為y=kx+b，利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式為y=x+，令x=0，求出y的值，即可求出D的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題需綜合利用待定系數(shù)法、勾股定理、圓的切線來解決問題．