【題目】如圖,已知△ABC,∠B=90゜,AB=3,BC=6,動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā),動(dòng)點(diǎn)P沿BA以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向點(diǎn)A移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q沿BC以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向點(diǎn)C移動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.連接PQ,將△QBP繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△,設(shè)△與△ABC重合部分面積是S.
(1)求證:PQ∥AC;
(2)求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出自變量t的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)由題意可得出,繼而可證明△BPQ∽△BAC,從而證明結(jié)論;
(2)由題意得出QP`⊥AC,分三種情況利用相似三角形的判定及性質(zhì)討論計(jì)算.
解:(1)∵BP=t,BQ=2t,AB=3,BC=6
∴
∵∠B=∠B
∴△BPQ∽△BAC
∴∠BPQ=∠A
∴PQ∥AC
(2)∵BP=t
BQ=2t
∴P`Q=
∵AB=3 BC=6
∴AC=3
∵PQ∥AC
∴QP`⊥AC
當(dāng)0<t≤時(shí),S=t2
當(dāng)<t≤1時(shí):
設(shè)QP`交AC于點(diǎn)M
P`B`交AC于點(diǎn)N
∴∠QMC=∠B=90°
∴△QMC∽△ABC
∴
∴
∴QM=
∵P`Q=t
∴P`M=
又∵∠P`=∠BPQ=∠A
∴△P`NM∽△ACB
∴
∴MN=2P`M
∴S△P`MN=P`M·MN=P`M2=
∴
當(dāng)1<t≤3時(shí)
設(shè)QB`交AC于點(diǎn)H
∵∠HQM=∠PQB
∴△HMQ∽△PBQ
∴
∴MH=MQ
∴
綜合上所述:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,Rt△ABC的頂點(diǎn)A,B分別在y軸、x軸上,OA=2,OB=1,斜邊AC∥x軸.若反比例函數(shù)y(k>0,x>0)的圖象經(jīng)過(guò)AC的中點(diǎn)D,則k的值為( )
A.4B.5C.6D.8
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(9分)為了提高學(xué)生寫好漢字的積極性,某校組織全校學(xué)生參加漢字聽寫比賽,比賽成績(jī)從高到低只分A、B、C、D四個(gè)等級(jí).若隨機(jī)抽取該校部分學(xué)生的比賽成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,并繪制了如下的統(tǒng)計(jì)圖表:
根據(jù)圖表的信息,回答下列問(wèn)題:
(1)本次抽查的學(xué)生共有 名;
(2)表中和所表示的數(shù)分別為: , ,并在圖中補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若該校共有名學(xué)生,請(qǐng)你估計(jì)此次漢字聽寫比賽有多少名學(xué)生的成績(jī)達(dá)到B級(jí)及B級(jí)以上?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)如圖1,是的內(nèi)接三角形,于點(diǎn).請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺,畫出中的平分線.(保留作圖痕跡,不寫作法).
(2)如圖2,為的外接圓,是非直徑的弦,是的中點(diǎn),連接,是弦上一點(diǎn),且,請(qǐng)僅用無(wú)刻度的直尺,確定出的內(nèi)心.(保留作圖痕跡,不寫作法)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線(為正整數(shù),且)與軸的交點(diǎn)為和,,當(dāng)時(shí),第1條拋物線與軸的交點(diǎn)為和,其他依次類推.
(1)求,的值及拋物線的解析式;
(2)拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為( , );依次類推,第條拋物線的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為( , );所有拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系式是 ;
(3)探究下列結(jié)論:
①是否存在拋物線,使得為等腰直角三角形?若存在,請(qǐng)求出拋物線的表達(dá)式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
②若直線與拋物線分別交于則線段,,…則線段,,…的長(zhǎng)有何規(guī)律?請(qǐng)用含的代數(shù)式表示.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知在矩形 ABCD 中,AB=4,AD=3,連接 AC,動(dòng)點(diǎn) Q 以每秒 1 個(gè)單位的速度沿 A→B→C 向點(diǎn) C 勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn) P 以每秒 2 個(gè)單位的速度沿 A→C→D 向點(diǎn) D 勻速運(yùn)動(dòng),連接 PQ,當(dāng)點(diǎn) P 到達(dá)終點(diǎn) D 時(shí),停止運(yùn) 動(dòng),設(shè)△APQ 的面積為 S,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t 秒,則 S 與 t 函數(shù)關(guān)系的圖象大致為( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】嘗試探究
如圖-,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,點(diǎn)E、F分別是BC、AC邊上的點(diǎn),且EF//BC.
的值為 ;直線與直線的位置關(guān)系為 ;
類比延伸
如圖,若將圖中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),連接,則在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,請(qǐng)判斷的值及直線與直線的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
拓展運(yùn)用
若,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,當(dāng)三點(diǎn)在同一直線上時(shí),請(qǐng)直接寫出此時(shí)線段的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC=4,O是BC邊上的點(diǎn)且⊙O與AB、AC都相切,切點(diǎn)分別為D、E.
(1)求⊙O的半徑;
(2)如果F為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與D、E),過(guò)點(diǎn)F作⊙O的切線分別與邊AB、AC相交于G、H,連接OG、OH,有兩個(gè)結(jié)論:①四邊形BCHG的周長(zhǎng)不變,②∠GOH的度數(shù)不變.已知這兩個(gè)結(jié)論只有一個(gè)正確,找出正確的結(jié)論并證明;
(3)探究:在(2)的條件下,設(shè)BG=x,CH=y,試問(wèn)y與x之間滿足怎樣的函數(shù)關(guān)系,寫出你的探究過(guò)程并確定自變量x的取值范圍,并說(shuō)明當(dāng)x=y時(shí)F點(diǎn)的位置.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,過(guò)A作BC的平行線,交∠ACB的平分線于點(diǎn)D,點(diǎn)E是BC上一點(diǎn),連接DE,交AB于點(diǎn)F,∠DEB+∠CAD=180°.
(1)如圖1,求證:四邊形ACED是菱形;
(2)如圖2,G是AD的中點(diǎn),H是AC邊中點(diǎn),連接CG、EG、EH,若∠ACB=90°,BC=2AC,在不添加任何輔助線的情況下,請(qǐng)直接寫出圖中與△CEH全等的三角形(不含△CEH本身).
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