Question

已知，如圖，點(diǎn)M在x軸上，以點(diǎn)M為圓心，2.5長(zhǎng)為半徑的圓交y軸于A、B兩點(diǎn)，交x軸于C（x₁，0）、D（x₂，0）兩點(diǎn)，（x₁＜x₂），x₁、x₂是方程x（2x+1）=（x+2）²的兩根．
（1）求點(diǎn)C、D及點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）若直線y=kx+b切⊙M于點(diǎn)A，交x軸于P，求PA的長(zhǎng)；
（3）⊙M上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q、A、C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與△AOC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出過(guò)A、C、Q三點(diǎn)的拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）整理把x（2x+1）=（x+2）²并求出方程的解即可得到點(diǎn)C、D的坐標(biāo)，根據(jù)圓的性質(zhì)，根據(jù)點(diǎn)M是C、D的中點(diǎn)求解即可；
（2）利用勾股定理求出AO的長(zhǎng)度，根據(jù)切線求出AM⊥PA，再證明△AOM與△POA相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式即可求出PA的長(zhǎng)度；
（3）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠CAD=90°，然后可以證明△AOC與△DAC相似，所以點(diǎn)D就是所要找的點(diǎn)Q，然后利用待定系數(shù)法列式即可求出過(guò)A、C、Q三點(diǎn)的拋物線的解析式．

解答：解：（1）x（2x+1）=（x+2）²整理得，x²-3x-4=0，
解得x₁=-1，x₂=4，
∴點(diǎn)C、D的坐標(biāo)是C（-1，0），D（4，0），

-1+4

2

=1.5，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1.5，0），
故答案為：C（-1，0），D（4，0），（1.5，0）；

（2）如圖，連接AM，則AM=2.5，
在Rt△AOM中，AO=

AM2-OM2

=

2.52-1.52

=2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，2），
∵PA與⊙M相切，
∴AM⊥PA，
∴∠MAO+∠PAO=90°，
又∵∠AMO+∠MAO，
∴∠AMO=∠PAO，
在△AOM與△POA中，

∠AMO=∠PAO ∠AOM=∠POA=90°

，
∴△AOM∽△POA，
∴

AM

PA

=

OM

AO

，
即

2.5

PA

=

1.5

2

，
解得PA=

10

3

；

（3）存在．
如圖，連接AC、AD，
∴∠CAD=90°，
在△ACO與△DCA中，

∠ACO=∠DCA ∠AOC=∠DAC=90°

，
∴△ACO∽△DCA，
∴存在點(diǎn)Q，與點(diǎn)D重合時(shí)，點(diǎn)Q、A、C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與△AOC相似，
此時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)A、C、Q的拋物線是y=ax²+bx+c，
則

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=2

，
解得

a=- 1 2 b= 3 2 c=2

，
∴過(guò)A、C、Q三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y=-

1

2

x²+

3

2

x+2．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查，包括解一元二次方程，相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，綜合性較強(qiáng)，難度較大，需要仔細(xì)分析研究方能解決．