Question

已知k為不超過(guò)50的正整數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)n，2×3⁶ⁿ+k×2³ⁿ⁺¹-1都能被7整除，則這樣的正整數(shù)k有

7

個(gè)．

Answer 1

分析：首先把2×3⁶ⁿ+k×2³ⁿ⁺¹-1整理成2×27²ⁿ+2k×8ⁿ-1=2×（-1）²ⁿ+2k-1=2k+1，然后根據(jù)原式能被7整除可得2k+1=7m（m是奇數(shù)），于是求出k的個(gè)數(shù)．

解答：解：2×3⁶ⁿ+k×2³ⁿ⁺¹-1=2×27²ⁿ+2k×8ⁿ-1=2×（28-1）²ⁿ+2k×（7+1）²ⁿ
=2×（-1）²ⁿ+2k-1=2k+1（mod7），
但2×3⁶ⁿ+k×2³ⁿ⁺¹-1=0（mod7），
2k+1=0（mod7），即2k+1=7m（m為奇數(shù)），
因?yàn)?≤k≤50，所以3≤7m≤101，
故m=1、3、…13，相應(yīng)的k=3、10、…、45共7個(gè)．
故答案為7．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)的整除性問(wèn)題的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握整除的性質(zhì)，此題難度一般．