Question

6．如圖，將矩形紙片ABCD置于直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（4，0），點(diǎn)B（0，3），點(diǎn)D（異于點(diǎn)B、C）為邊BC上動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O、D折疊紙片，得點(diǎn)B′和折痕OD．過(guò)點(diǎn)D再次折疊紙片，使點(diǎn)C落在直線DB′上，得點(diǎn)C′和折痕DE，連接OE，設(shè)BD=t．
（1）當(dāng)t=1時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）設(shè)S_{四邊形OECB}=s，用含t的式子表示s（要求寫出t的取值范圍）；
（3）當(dāng)OE取最小值時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊的性質(zhì)和全等三角形的判定定理證明△BOD≌△CDE，求出CE，計(jì)算出AE，得到點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)用t表示出CE，根據(jù)梯形的面積公式用t表示S；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出AE的最小值，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答 解：（1）由折疊的性質(zhì)可知，∠ODB=∠ODB′，∠EDC=∠EDC′，
∴∠ODE=90°，
∴∠BDO+∠CDE=90°，又∠BDO+∠BOD=90°，
∴∠BOD=∠CDE，
∵BD=t=1，BC=4，
∴CD=3，又OB=3，
∴OB=CD，
在△BOD和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{OB=CD}\\{∠BOD=∠CDE}\end{array}\right.$，
∴△BOD≌△CDE，
∴CE=BD=1，
∴AE=AC-CE=2，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，2）；
（2）∵BD=t，
∴DC=BC-BD=4-t，
由（1）得，∠BOD=∠CDE，又∠B=∠C=90°，
∴△ODB∽△DCE，
∴$\frac{BD}{CE}=\frac{OB}{DC}$，即$\frac{t}{CE}=\frac{3}{4-t}$，
解得，CE=$-\frac{1}{3}$t²+$\frac{4}{3}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$×（CE+OB）×BC=$\frac{1}{2}$×（$-\frac{1}{3}$t²+$\frac{4}{3}$t+3）×4，
∴S=$-\frac{2}{3}$t²+$\frac{8}{3}$t+6（0＜t＜4）；
（3）在Rt△OEA中，OE²=OA²+AE²=4²+AE²，
∴當(dāng)AE最小時(shí)，OE最小，
由（2）得，CE=$-\frac{1}{3}$t²+$\frac{4}{3}$t，
∴AE=AC-CE=$\frac{1}{3}$t²-$\frac{4}{3}$t+3=$\frac{1}{3}$（x-2）²+$\frac{5}{3}$，
當(dāng)t=2時(shí)，AE的最小值為$\frac{5}{3}$，
此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，$\frac{5}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)、根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值是解題的關(guān)鍵．