Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將一塊腰長(zhǎng)為的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在兩坐標(biāo)軸上，直角頂點(diǎn)C的啦標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B在拋物線上，

1.點(diǎn)Ａ的坐標(biāo)為__________,點(diǎn)Ｂ的坐標(biāo)為___________;拋物線的解析式為_________;

2.在拋物線上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使△ACP是以AC為直角邊向直角三角形？若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

3.若點(diǎn)D是(1)中所求拋物線在第三象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)BD、CD。當(dāng)△BCD的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)。

4.若點(diǎn)P是(1)中所求拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以線段AB、BP為鄰邊作平形四邊形ABPQ。當(dāng)點(diǎn)Q落在x軸上時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

 

Answer 1

【答案】

 

1.Ａ（0，2）,B(-3,1).

2.存在點(diǎn)Ｐ（點(diǎn)B除外），使三角形ＡＣＰ是以ＡＣ為直角邊的直角三角形    4分

理由如下：

分情況討論：

①延長(zhǎng)ＢＣ交拋物線于點(diǎn)Ｐ，連結(jié)ＡＰ₁

因?yàn)椤螦CB=90°,∴∠ACP=90°

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b

將Ｂ(-3,1),C(-1, 0)代入上式得

所以                         5分

聯(lián)立方程組解得（不符合題意舍去）

所以：Ｐ₁（1，-1）                                         6分

②過(guò)點(diǎn)Ａ作ＡＰ₂//BC,交拋物線于點(diǎn)Ｐ₂，Ｐ₃

設(shè)直線ＡＰ₂的解析式為，將代入得

所以：

聯(lián)立方程組解得：

所以：Ｐ₂（2，1），Ｐ₃（-4，4）

綜上所述：存在點(diǎn)Ｐ₁（1，-1），Ｐ₂（2，1），Ｐ₃（-4，4）（點(diǎn)Ｂ除外），使三角形ＡＣＰ

是以ＡＣ為直角邊的直角三角形                               7分

3.設(shè)點(diǎn)Ｄ的坐標(biāo)為（m,）,過(guò)點(diǎn)Ｄ作ＤＭ⊥x軸交直線ＢＣ于點(diǎn)Ｍ

所以點(diǎn)Ｍ的坐標(biāo)為（m，），ＭＤ＝          8分

再設(shè)三角形ＢＣＤ的面積為Ｓ。

Ｓ＝＝       9分

因?yàn)椋邮莔的二次函數(shù)，且拋物線開口向下，函數(shù)有最大值

即當(dāng)m＝-1時(shí)Ｓ有最大值２

此時(shí)點(diǎn)Ｄ的坐標(biāo)為（-1，-2）

4.（1，-1）。（-2，-1）

【解析】（1）根據(jù)勾股定理求點(diǎn)Ａ的坐標(biāo),點(diǎn)Ｂ的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)Ｂ的坐標(biāo)求拋物線的解析式

（２）根據(jù)延長(zhǎng)ＢＣ交拋物線于點(diǎn)Ｐ，連結(jié)ＡＰ₁，或者過(guò)點(diǎn)Ａ作ＡＰ₂//BC,交拋物線于點(diǎn)

Ｐ₂，Ｐ₃構(gòu)成的三角形進(jìn)行解答

（3）設(shè)點(diǎn)Ｄ的坐標(biāo)為（m,）,過(guò)點(diǎn)Ｄ作ＤＭ⊥x軸交直線ＢＣ于點(diǎn)Ｍ，求得ＭＤ＝，三角形ＢＣＤ的面積為,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)

(4)根據(jù)平形四邊形的性質(zhì)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)