Question

問題探究

⑴ 請(qǐng)?jiān)趫D①中作出兩條直線，使它們將圓的面積四等分；

⑵ 如圖②，M是正方形ABCD內(nèi)一定點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D②中作出兩條直線（要求其中一條直線必須過點(diǎn)M），使它們將正方形ABCD的面積四等分，并說明理由.

問題解決

⑶ 如圖③，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn).如果AB=，CD=，且＞，那么在邊BC上是否存在一點(diǎn)Q，使PQ所在直線將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分？若存在，求出BQ的長(zhǎng)；若不存在，說明理由.

 

		③
	①		②

 

 

Answer 1

 解：（1）如圖1所示,( 只要兩直線互相垂直)                        

                                                                               

（2）連接AC、BD交于O，作直線OM，分別交AD于P，交BC于Q，過O作EF⊥OM交DC于F，交AB于E，則直線EF、OM將正方形的面積四等份，                                                                

理由是：∵點(diǎn)O是正方形ABCD的對(duì)稱中心，

∴AP=CQ，EB=DF，

在△AOP和△EOB中

∵∠AOP=90°-∠AOE，∠BOE=90°-∠AOE，

∴∠AOP=∠BOE，

∵OA=OB，∠OAP=∠EBO=45°，

∴△AOP≌△EOB，

∴AP=BE=DF=CQ，                                                    

設(shè)O到正方形ABCD一邊的距離是d，

               

∴S四邊形AEOP=S四邊形BEOC=S四邊形CQOF=S四邊形DPOF，                   

直線EF、OM將正方形ABCD面積四等份；                             

（3）存在，當(dāng)BQ=CD=b時(shí)，PQ將四邊形ABCD的面積二等份，           

方法一：如圖③，連接BP并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，

∵AB∥CD，

∴∠A=∠EDP，∵在△ABP和△DEP中， ,

∴△ABP≌△DEP（ASA），

∴BP=EP，

連接CP，

∵△BPC的邊BP和△EPC的邊EP上的高相等，

又∵BP=EP，

∴S△BPC=S△EPC，

作PF⊥CD，PG⊥BC，則BC=AB+CD=DE+CD=CE，

由三角形面積公式得：PF=PG，

在CB上截取CQ=DE=AB=a，則S△CQP=S△DEP=S△ABP                   

∴S△BPC-S△CQP+S△ABP=S△CPE-S△DEP+S△CQP

即：S四邊形ABQP=S四邊形CDPQ，

∵BC=AB+CD=a+b，

∴BQ=b，

∴當(dāng)BQ=b時(shí)，直線PQ將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分．