Question

【題目】在△ABC中，∠A=60°，∠ABC=45°，AB=4,點(diǎn)D為AC上一動(dòng)點(diǎn)，以BD為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，則EF的最小值是______.

Answer 1

【答案】3

【解析】

由垂線(xiàn)段的性質(zhì)可知，當(dāng)BD為△ABC的邊AC上的高時(shí)，直徑BD最短，此時(shí)線(xiàn)段EF=2EH=2OEsin∠EOH=2OEsin45°，因此當(dāng)半徑OE最短時(shí)，EF最短，連接OE，OF，過(guò)O點(diǎn)作OH⊥EF，垂足為H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直徑BD，由圓周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠ABC=45°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂徑定理可知EF=2EH．

由垂線(xiàn)段的性質(zhì)可知，當(dāng)BD為△ABC的邊BC上的高時(shí)，直徑BD最短，

如圖，

，

連接OE，OF，過(guò)O點(diǎn)作OH⊥EF，垂足為H，

∵在Rt△ADB中，∠BAC=60°，AB=4，

∴BD=6，即此時(shí)圓的直徑為6，

由圓周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠ABC=45°，

∴在Rt△EOH中，EH=OEsin∠EOH=3×=，

由垂徑定理可知EF=2EH=3．

故答案為：3．