Question

12．如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點A與點C重合，折痕為EF，EF與AC交于點O，分別連接AE、CF．若AB=$\sqrt{3}$，∠DCF=30°，則EF的長為2．

Answer 1

分析 先根據(jù)解直角三角形得到DF和CF的長，再根據(jù)勾股定理求得AC的長，并得出AO的長，然后利用勾股定理求得OF的長，最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求得EF的長等于OF長的2倍．

解答 解：∵矩形ABCD中，AB=CD=$\sqrt{3}$，∠D=90°，
∴DF=1，CF=2，
由折疊可得，AC被EF垂直平分，
∴AF=CF=2，
∴AD=2+1=3，
∴直角三角形ACD中，AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$2\sqrt{3}$，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
∴直角三角形AOF中，OF=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1，
又∵由折疊得∠AEO=∠CEO，由AD∥BC得∠AFO=∠CEO，
∴∠AFO=∠AEO，即AF=AE，
∵AO⊥EF，
∴EF=2FO=2，
故答案為：2．

點評 本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對應線段相等，對應角相等．解題時注意：對應點的連線段被折痕垂直平分．此題也可以通過判定△AEF為等邊三角形進行求解．