Question

（本小題滿(mǎn)分7分）如圖，已知半徑為2的⊙O與直線(xiàn)相切于點(diǎn)A，點(diǎn)P是直徑AB左側(cè)半圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為C，PC與⊙O交于點(diǎn)D，連接PA、PB，設(shè)PC的長(zhǎng)為x（2＜x＜4）

（1）當(dāng)時(shí)，求弦PA、PB的長(zhǎng)度；

（2）當(dāng)x為何值時(shí)，的值最大？最大值是多少？

Answer 1

【解析】

試題分析：根據(jù)切線(xiàn)和直徑的性質(zhì)得出∠PCA=∠APB，根據(jù)垂直得出PC∥AB從而說(shuō)明△PCA和△APB相似，根據(jù)相似比得出=PC·AB，然后計(jì)算出AP的長(zhǎng)度，根據(jù)Rt△ABP的勾股定理得出PB的長(zhǎng)度；過(guò)O作OE⊥PD，根據(jù)垂徑定理得出PE=DE=x－2，從而得出CD=4－x，然后利用一元二次方程求出最大值.

試題解析：（1）∵⊙O與直線(xiàn)l相切于點(diǎn)A，AB為⊙O的直徑，∴AB⊥l.

又∵PC⊥l，∴AB∥PC. ∴∠CPA=∠PAB. ∵AB為⊙O的直徑，∴∠APB=90°.

∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB. ∴ 即=PC·AB

∵PC=，AB=4，∴PA==. ∴在Rt△APB中，由勾股定理得：PB=.

（2）過(guò)O作OE⊥PD，垂足為E. ∵PD是⊙O的弦，OF⊥PD，∴PF=FD.

在矩形OECA中，CE=OA=2，∴PE=ED=x－2. ∴CD=PC－PD=x－2（x－2）=4－x

∴PD·CD=2（x－2）·（4－x）=－2+12x－16=－2+2

∵2＜x＜4 ∴當(dāng)x=3時(shí)，PD·CD有最大值，最大值是2.

考點(diǎn)：圓的基本性質(zhì)、相似三角形、勾股定理.

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：圓 圓，圓的有關(guān)性質(zhì)與圓的有關(guān)計(jì)算是近幾年各地中考命題的重點(diǎn)內(nèi)容。題型以填空題，選擇題和解答題為主，也有以閱讀理解，條件開(kāi)放，結(jié)論開(kāi)放探索題作為新的題型，分值一般是6-12分，難易度為中，考察內(nèi)容：①圓的有關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用。垂徑定理是重點(diǎn)。② 直線(xiàn)和圓，圓和圓的位置關(guān)系的判定及應(yīng)用。③弧長(zhǎng)，扇形面積，圓柱，圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算④圓與相似三角形，三角函數(shù)的綜合運(yùn)用以及有關(guān)的開(kāi)放題，探索題。突破方法：①熟練掌握?qǐng)A的有關(guān)行政，掌握求線(xiàn)段，角的方法，理解概念之間的相互聯(lián)系和知識(shí)之間的相互轉(zhuǎn)化。②理解直線(xiàn)和原的三種位置關(guān)系，掌握切線(xiàn)的性質(zhì)和判定的歌，會(huì)根據(jù)條件解決圓中的動(dòng)態(tài)問(wèn)題。③掌握有兩圓半徑的和或差與圓心距的大小關(guān)系來(lái)盤(pán)底的那個(gè)兩個(gè)圓的位置關(guān)系，對(duì)中考試題中常出現(xiàn)的閱讀理解題，探索題，要靈活運(yùn)用圓的有關(guān)性質(zhì)，進(jìn)行合理推理與計(jì)算。④掌握弧長(zhǎng)，扇形面積計(jì)算公式。⑤理解圓柱，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖⑥對(duì)組合圖形 的計(jì)算要靈活運(yùn)用計(jì)算方法解題。 試題屬性

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