Question

9．如圖，菱形ABCD的兩條對角線相交于點O，∠DAC=30°，BD=12
（1）求∠ABC的度數(shù)；
（2）求菱形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)求得∠BAD的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，求得∠ABC的度數(shù)；
（2）先根據(jù)菱形的性質(zhì)以及勾股定理，求得AC的長，再根據(jù)菱形的面積計算公式，求得菱形面積．

解答 解：（1）∵菱形ABCD的兩條對角線相交于點O，∠DAC=30°，
∴∠BAD=2∠DAC=60°，
∵AD∥BC，
∴∠ABC=180°-60°=120°；

（2）∵菱形ABCD的兩條對角線相交于點O，BD=12，
∴AC⊥BD，DO=$\frac{1}{2}$BD=6，
又∵∠DAC=30°，
∴AD=2DO=12，
∴Rt△AOD中，AO=$\sqrt{1{2}^{2}-{6}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
∴AC=2AO=12$\sqrt{3}$，
∴菱形ABCD的面積=$\frac{1}{2}$×AC×BD=$\frac{1}{2}$×12$\sqrt{3}$×12=72$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了菱形的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是掌握：菱形的對角線平分每一組對角，菱形面積等于兩條對角線的長度乘積的一半．