Question

9．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD為正方形，已知點A（-6，0），D（-7，3），點B、C在第二象限內．
（1）點B的坐標（-3，1）；
（2）將正方形ABCD以每秒1個單位的速度沿x軸向右平移t秒，若存在某一時刻t，使在第一象限內點B、D兩點的對應點B′、D′正好落在某反比例函數的圖象上，請求出此時t的值以及這個反比例函數的解析式；
（3）在（2）的情況下，問是否存在x軸上的點P和反比例函數圖象上的點Q，使得以P、Q、B′、D′四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合題意的點P、Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）過點D作DE⊥x軸于點E，過點B作BF⊥x軸于點F，由正方形的性質結合同角的余角相等即可證出△ADE≌△BAF，從而得出DE=AF，AE=BF，再結合點A、D的坐標即可求出點B的坐標；
（2）設反比例函數為y=$\frac{k}{x}$，根據平行的性質找出點B′、D′的坐標，再結合反比例函數圖象上點的坐標特征即可得出關于k、t的二元一次方程組，解方程組解得出結論；
（3）假設存在，設點P的坐標為（m，0），點Q的坐標為（n，$\frac{6}{n}$）．分B′D′為對角線或為邊考慮，根據平行四邊形的性質找出關于m、n的方程組，解方程組即可得出結論．

解答 解：（1）過點D作DE⊥x軸于點E，過點B作BF⊥x軸于點F，如圖1所示．

∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∵∠EAD+∠ADE=90°，∠EAD+∠BAF=90°，
∴∠ADE=∠BAF．
在△ADE和△BAF中，有$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠BFA=90°}\\{∠ADE=BAF}\\{AD=BA}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BAF（AAS），
∴DE=AF，AE=BF．
∵點A（-6，0），D（-7，3），
∴DE=3，AE=1，
∴點B的坐標為（-6+3，0+1），即（-3，1）．
故答案為：（-3，1）．
（2）設反比例函數為y=$\frac{k}{x}$，
由題意得：點B′坐標為（-3+t，1），點D′坐標為（-7+t，3），
∵點B′和D′在該比例函數圖象上，
∴k=（-3+t）×1=（-7+t）×3，
解得：t=9，k=6，
∴反比例函數解析式為y=$\frac{6}{x}$．
（3）假設存在，設點P的坐標為（m，0），點Q的坐標為（n，$\frac{6}{n}$）．
以P、Q、B′、D′四個點為頂點的四邊形是平行四邊形分兩種情況：
①當B′D′為對角線時，
∵四邊形B′PD′Q為平行四邊形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{6}{n}-3=1}\\{m-6=2-n}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{13}{2}}\\{n=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴P（$\frac{13}{2}$，0），Q（$\frac{3}{2}$，4）；
②當B′D′為邊時．
∵四邊形PQB′D′為平行四邊形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-n=6-2}\\{\frac{6}{n}-0=3-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=7}\\{n=3}\end{array}\right.$，
∴P（7，0），Q（3，2）；
∵四邊形B′QPD′為平行四邊形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{n-m=6-2}\\{0-\frac{6}{n}=3-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-7}\\{n=-3}\end{array}\right.$．
綜上可知：存在x軸上的點P和反比例函數圖象上的點Q，使得以P、Q、B′、D′四個點為頂點的四邊形是平行四邊形，符合題意的點P、Q的坐標為P（$\frac{13}{2}$，0）、Q（$\frac{3}{2}$，4）或P（7，0）、Q（3，2）或（-7，0）、（-3，-2）．

點評 本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征、正方形的性質、全等三角形的判定及性質、平行四邊形的性質以及解方程組，解題的關鍵是：（1）證出△ADE≌△BAF；（2）找出關于k、t的二元一次方程組；（3）分類討論．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，找出點的坐標，利用反比例函數圖形上點的坐標表示出來反比例函數系數k是關鍵．