如圖,已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=AB=3,BC=4,動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā),沿線段BC向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動(dòng);動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā),沿線段DA向點(diǎn)A作勻速運(yùn)動(dòng).過Q點(diǎn)垂直于AD的射線交AC于點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)N.P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn),P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.
(1)NC=________;MC=________.(用含t的代數(shù)式表示);
(2)當(dāng)t為何值時(shí),四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形?
(3)是否存在某一時(shí)刻t,使射線QN恰好將△ABC的面積和周長(zhǎng)同時(shí)平分?若存在,求出此時(shí)t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由;
(4)探究:t為何值時(shí),△PMC為等腰三角形?
解:(1)NC=1+t,MC=(1+t);2分 (2)∵QD∥PC,∴當(dāng)QD=PC時(shí),四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形 ∴t=4-t,∴t=2 ∴當(dāng)t=2時(shí),四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形;3分 (3)若射線QN將△ABC的周長(zhǎng)平分,則有MC+NC=AM+BN+AB ∴(1+t)+1+t=(3+4+5) 解得t=;4分 ∵M(jìn)N=NC=(1+t) ∴S△MNC=NC·MN=(1+t)×(1+t)=(1+t)2 當(dāng)t=時(shí),S△MNC=(1+)2= ∵S△ABC=××4×3=3,∴S△MNC≠S△ABC;5分 ∴不存在某一時(shí)刻t,使射線QN恰好將△ABC的面積和周長(zhǎng)同時(shí)平分 (4)若△PMC為等腰三角形,則: 、佼(dāng)MP=MC時(shí)(如圖1),則有:NP=NC 即PC=2NC,∴4-t=2(1+t)解得t=;6分 ②當(dāng)CM=CP時(shí)(如圖2),則有:(1+t)=4-t解得t=;7分 、郛(dāng)PM=PC時(shí)(如圖3),則有: 在Rt△MNP中,PM2=MN2+PN2又MN=NC=(1+t) PN=NC-PC=(1+t)-(4-t)=2t-3 ∴[(1+t)]2+(2t-3)2=(4-t)2解得t1=,t2=-1(不合題意,舍去);8分 (或過P作PE⊥AC于E,用△CPE∽△CAB得做運(yùn)算簡(jiǎn)單) 綜上所述,當(dāng)t=或t=或t=時(shí),△PMC為等腰三角形.9分 |
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