Question

如圖，點A、C分別在一個含45°的直角三角板HBE的兩條直角邊BH和BE上，且BA=BC，過點C作BE的垂線CD，過E點作EF⊥AE交∠DCE的角平分線于F點，交HE于P．
（1）試判斷△PCE的形狀，并請說明理由；
（2）若∠HAE=120°，AB=3，求EF的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)∠PCE=

1

2

∠DCE=

1

2

×90°=45°，求證∠CPE=90°，然后即可判斷三角形的形狀．
（2）根據(jù)∠HEB=∠H=45°得HB=BE，再根據(jù)BA=BC和∠HAE=120°，利用ASA求證△HAE≌△CEF，得AE=EF，又因為AE=2AB．然后即可求得EF．

解答：解：（1）△PCE是等腰直角三角形，
理由如下：
∵∠PCE=

1

2

∠DCE=

1

2

×90°=45°
∠PEC=45°
∴∠PCE=∠PEC
∠CPE=90°
∴△PCE是等腰直角三角形

（2）∵∠HEB=∠H=45°
∴HB=BE
∵BA=BC
∴AH=CE
而∠HAE=120°
∴∠BAE=60°，∠AEB=30°
又∵∠AEF=90°
∴∠CEF=120°=∠HAE
而∠H=∠FCE=45°
∴△HAE≌△CEF（ASA）
∴AE=EF
又∵AE=2AB=2×3=6
∴EF=6

點評：此題主要考查學(xué)生對全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形等知識點的理解和掌握，解答（2）的關(guān)鍵是利用ASA求證△HAE≌△CEF，此題有一定的拔高難度，屬于中檔題．