Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=ax²+bx-2經(jīng)過（2，1）和（6，-5）兩點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）設(shè)此拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)P是在直線x=4右側(cè)的這一拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，若以A、P、M為頂點(diǎn)頂點(diǎn)的三角形與△OCB相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）把（2，1）和（6，-5）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得，
解這個方程組，得 ，
故拋物線的解析式為y=-x²+x-2；

（2）令y=0，得-x²+x-2=0，
解這個方程，得x₁=1，x₂=4．
∴A（1，0），B（4，0）．
令x=0，得y=-2．
∴C（0，-2）．
設(shè)P（m，-m²+m-2），
∵∠COB=∠AMP=90°，
當(dāng)①時，△OCB∽△MAP．
∴，
解這個方程，得m₁=8，m₂=1（舍）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，-14），
②當(dāng)=時，△OCB∽△MPA，
，
解這個方程，得m₁=5，m₂=1（舍）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，-2）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，-14）或（5，-2）．
分析：（1）因?yàn)閽佄锞�過（2，1）和（6，-5）兩點(diǎn)，所以把以上兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出a和b的值即可求出拋物線的解析式；
（2）令y=0，得-x²+x-2=0，解這個方程，得x₁=1，x₂=4．所以A（1，0），B（4，0）．令x=0，得y=-2．所以可得到C（0，-2），P（m，-m²+m-2）．再分別①時，△OCB∽△MAP時和②當(dāng)=時，△OCB∽△MPA，討論求出符合題意的m值即可；
點(diǎn)評：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，考查了二次函數(shù)的圖象和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，題目綜合性很強(qiáng)，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．