Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A （1，0）、B（0，3）及C（3，0）點，動點D從原點O開始沿OB方向以每秒1個單位長度移動，動點E從點C開始沿CO方向以每秒1個長度單位移動，動點D、E同時出發(fā)，當(dāng)動點E到達原點O時，點D、E停止運動．

（1）求拋物線的解析式及頂點P的坐標(biāo)；

（2）若F（﹣1，0），求△DEF的面積S與E點運動時間t的函數(shù)解析式；當(dāng)t為何值時，△DEF的面積最大？最大面積是多少？

（3）當(dāng)△DEF的面積最大時，拋物線的對稱軸上是否存在一點N，使△EBN是直角三角形？若存在，求出N點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+3，（2，﹣1）；（2）當(dāng)t=2時，S最大=2；（3）N點的坐標(biāo)（2，2），（2，1），（2，），（2，）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得頂點坐標(biāo)；

（2）根據(jù)三角形的面積公式，可得函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；

（3）根據(jù)勾股定理的逆定理，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)解方程，可得N點坐標(biāo)．

解：（1）將A （1，0）、B（0，3）及C（3，0）代入函數(shù)解析式，得

，

解得，

拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3，

配方，得y=（x﹣2）2﹣1，頂點P的坐標(biāo)為（2，﹣1）；

（2）如圖1

，

由題意，得

CE=t，OE=3﹣t，F(xiàn)E=4﹣t，OD=t．

S=FEOD=（4﹣t）t=﹣t2+2t=﹣（t﹣2）2+2，

當(dāng)t=2時，S最大=2；

（3）當(dāng)△DEF的面積最大時，E（1，0），設(shè)N（2，a），

BN2=4+（a﹣3）2，EN2=1+a2，BE2=1+9=10，

①當(dāng)BN2+EN2=BE2時，4+9﹣6a+a2+a2+1=10，化簡，得

a2﹣3a+2=0，解得a=2，a=1，N（2，2），N（2，1）；

②當(dāng)BN2+BE2=EN2時，4+9﹣6a+a2+10=1+a2，化簡，得

6a=22，解得a=，N（2，）；

③當(dāng)BE2+EN2=BN2時，1+a2+10=4+9﹣6a+a2，

化簡，得

6a=2，解得a=，N（2，），

綜上所述：N點的坐標(biāo)（2，2），（2，1），（2，），（2，）．