Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BE是角平分線，CD⊥BE交BE的延長線于點(diǎn)D，求證：BE=2CD．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：證明題

分析：延長BA和CD交于Q，求出∠ACQ=∠ABE，證出△ABE≌△ACQ，推出BE=CQ，求出∠QBD=∠CBD，∠BDC=∠BDQ=90°，證△QDB≌△CDB，推出CD=DQ即可．

解答：證明：延長BA和CD交于Q，
∵∠CAQ=∠BAE=∠BDC=90°，
∴∠ACQ+∠Q=90°，∠ABE+∠Q=90°，
∴∠ACQ=∠ABE，
在△ABE和△ACQ中，

∠ABE=∠ACQ AB=AC ∠BAE=∠CAQ

，
∴△ABE≌△ACQ（ASA），
∴BE=CQ，
∵BD平分∠ABC，
∴∠QBD=∠CBD，
∵∠BDC=90°，
∴∠BDC=∠BDQ=90°，
在△QDB和△CDB中，

∠QBD=∠CBD BD=BD ∠BDQ=∠BDC

，
∴△QDB≌△CDB（ASA），
∴CD=DQ，
∴BE=CQ=2CD．

點(diǎn)評：本題考查了等腰直角三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是推出BE=CQ和CD=QD，題目比較好，難度適中．