Question

11．如圖，在正方形ABCD中，E、F是對角線BD上兩點，且∠EAF=45°，將△ADF繞點A順時針旋轉90°后，得到△ABQ，連接EQ，求證：
（1）EA是∠QED的平分線；
（2）EF²=BE²+DF²．

Answer 1

分析 （1）直接利用旋轉的性質得出△AQE≌△AFE（SAS），進而得出∠AEQ=∠AEF，即可得出答案；
（2）利用（1）中所求，再結合勾股定理得出答案．

解答 證明：（1）∵將△ADF繞點A順時針旋轉90°后，得到△ABQ，
∴QB=DF，AQ=AF，∠BAQ=∠DAF，
∵∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠BAE=45°，
∴∠QAE=45°，
∴∠QAE=∠FAE，
在△AQE和△AFE中
$\left\{\begin{array}{l}{AQ=AF}\\{∠QAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AQE≌△AFE（SAS），
∴∠AEQ=∠AEF，
∴EA是∠QED的平分線；

（2）由（1）得△AQE≌△AFE，
∴QE=EF，
在Rt△QBE中，
QB²+BE²=QE²，
則EF²=BE²+DF²．

點評 此題主要考查了旋轉的性質以及全等三角形的判定與性質和勾股定理等知識，正確得出△AQE≌△AFE（SAS）是解題關鍵．