Question

如圖，在⊙O中，半徑OC垂直于弦AB，垂足為點(diǎn)E．

（1）若OC=5，AB=8，求tan∠BAC；

（2）若∠DAC=∠BAC，且點(diǎn)D在⊙O的外部，判斷直線AD與⊙O的位置關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：

切線的判定；勾股定理；垂徑定理．

專題：

計(jì)算題．

分析：

（1）根據(jù)垂徑定理由半徑OC垂直于弦AB，AE=AB=4，再根據(jù)勾股定理計(jì)算出OE=3，則EC=2，然后在Rt△AEC中根據(jù)正切的定義可得到tan∠BAC的值；

（2）根據(jù)垂徑定理得到AC弧=BC弧，再利用圓周角定理可得到∠AOC=2∠BAC，由于∠DAC=∠BAC，所以∠AOC=∠BAD，利用∠AOC+∠OAE=90°即可得到∠BAD+∠OAE=90°，然后根據(jù)切線的判定方法得AD為⊙O的切線．

解答：

解：（1）∵半徑OC垂直于弦AB，

∴AE=BE=AB=4，

在Rt△OAE中，OA=5，AE=4，

∴OE==3，

∴EC=OC﹣OE=5﹣3=2，

在Rt△AEC中，AE=4，EC=2，

∴tan∠BAC===；

（2）AD與⊙O相切．理由如下：

∵半徑OC垂直于弦AB，

∵AC弧=BC弧，

∴∠AOC=2∠BAC，

∵∠DAC=∠BAC，

∴∠AOC=∠BAD，

∵∠AOC+∠OAE=90°，

∴∠BAD+∠OAE=90°，

∴OA⊥AD，

∴AD為⊙O的切線．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了切線的判定定理：過半徑的外端點(diǎn)且與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了勾股定理以及垂徑定理、圓周角定理．