【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,
(1)圖①中共有 對相似三角形,寫出來分別為 (不需證明);
(2)已知AB=10,AC=8,請你求出CD的長;
(3)在(2)的情況下,如果以AB為x軸,CD為y軸,點D為坐標原點O,建立直角坐標系(如圖②),若點P從點C出發(fā),以每秒1個單位的速度沿線段CB運動,點Q從點B出發(fā),以每秒1個單位的速度沿線段BA運動,其中一點最先到達線段的端點時,兩點即刻同時停止運動;設運動時間為t秒,是否存在點P,使以點B,P,Q為頂點的三角形與△ABC相似?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)3對,分別是:△ABC∽△ACD, △ABC∽△CBD , △ACD∽△CBD;(2)4.8;(3)存在,(1.35,3)或(3.15,1.8).
【解析】
試題(1)根據兩角對應相等的兩三角形相似即可得到3對相似三角形,分別為:△ABC∽△ACD,△ABC∽△CBD,△ABC∽△CBD;
(2)先在△ABC中由勾股定理求出BC的長,再根據△ABC的面積不變得到ABCD=ACBC,即可求出CD的長;
(3)由于∠B公共,所以以點B、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似時,分兩種情況進行討論:①△PQB∽△ACB;②△QPB∽△ACB.
試題解析:(1)圖1中共有3對相似三角形,分別為:△ABC∽△ACD,△ABC∽△CBD,△ABC∽△CBD.
故答案為3,△ABC∽△ACD,△ABC∽△CBD,△ABC∽△CBD;
(2)如圖1,在△ABC中,∵∠ACB=90°,AB=10,AC=8,∴BC==6.
∵△ABC的面積=ABCD=ACBC,∴CD==4.8;
(3)存在點P,使以點B、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似,理由如下:在△BOC中,∵∠COB=90°,BC=6,OC=4.8,∴OB==3.6.
分兩種情況:①當∠BQP=90°時,如圖2①,此時△PQB∽△ACB,
∴,∴,解得t=2.25,即BQ=CP=2.25,
∴OQ=OB﹣BQ=3.6﹣2.25=1.35,BP=BC﹣CP=6﹣2.25=3.75.
在△BPQ中,由勾股定理,得PQ==,∴點P的坐標為(1.35,3);
②當∠BPQ=90°時,如圖2②,此時△QPB∽△ACB,∴,∴,
解得t=3.75,即BQ=CP=3.75,BP=BC﹣CP=6﹣3.75=2.25.
過點P作PE⊥x軸于點E.
∵△QPB∽△ACB,∴,∴,∴PE=1.8.
∴點P的坐標為(3.15,1.8);
綜上可得,點P的坐標為(1.35,3)或(3.15,1.8).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,在平面直角坐標系中,一次函數(shù)y=﹣2x+8的圖象與x軸,y軸分別交于點A,點C,過點A作AB⊥x軸,垂足為點A,過點C作CB⊥y軸,垂足為點C,兩條垂線相交于點B.
(1)線段AB,BC,AC的長分別為AB= ,BC= ,AC= ;
(2)折疊圖1中的△ABC,使點A與點C重合,再將折疊后的圖形展開,折痕DE交AB于點D,交AC于點E,連接CD,如圖2.
請從下列A、B兩題中任選一題作答,我選擇 題.
A:①求線段AD的長;
②在y軸上,是否存在點P,使得△APD為等腰三角形?若存在,請直接寫出符合條件的所有點P的坐標;若不存在,請說明理由.
B:①求線段DE的長;
②在坐標平面內,是否存在點P(除點B外),使得以點A,P,C為頂點的三角形與△ABC全等?若存在,請直接寫出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,四邊形AOBC是矩形,點O(0,0),點A(5,0),點B(0,3).以點A為中心,順時針旋轉矩形AOBC,得到矩形ADEF,點O,B,C的對應點分別為D,E,F.
(1)如圖①,當點D落在BC邊上時,求點D的坐標;
(2)如圖②,當點D落在線段BE上時,AD與BC交于點H.
①求證△ADB≌△AOB;
②求點H的坐標.
(3)記K為矩形AOBC對角線的交點,S為△KDE的面積,求S的取值范圍(直接寫出結果即可).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校九年級為了解學生課堂發(fā)言情況,隨機抽取該年級部分學生,對他們某天在課堂上發(fā)言的次數(shù)進行了統(tǒng)計,其結果如下表,并繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖,已知B、E兩組發(fā)言人數(shù)的比為5:2,請結合圖中相關數(shù)據回答下列問題:
(1)則樣本容量容量是______________,并補全直方圖;
(2)該年級共有學生500人,請估計全年級在這天里發(fā)言次數(shù)不少于12的次數(shù);
(3)已知A組發(fā)言的學生中恰有1位女生,E組發(fā)言的學生中有2位男生,現(xiàn)從A組與E組中分別抽一位學生寫報告,請用列表法或畫樹狀圖的方法,求所抽的兩位學生恰好是一男一女的概率。
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,2分別是某款籃球架的實物圖與示意圖,已知底座BC=0.60米,底座BC與支架AC所成的角∠ACB=75°,支架AF的長為2.50米,籃板頂端F點到籃框D的距離FD=1.35米,籃板底部支架HE與支架AF所成的角∠FHE=60°,求籃框D到地面的距離(精確到0.01米)(參考數(shù)據:cos75°≈0.2588,sin75°≈0.9659,tan75°≈3.732,≈1.732,≈1.414)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了解永康市某中學八年級學生的視力水平,從中抽查部分學生的視力情況,繪制了如圖統(tǒng)計圖:
(1)本次調查的樣本容量是 ;
(2)請補全條形統(tǒng)計圖,并求扇形統(tǒng)計圖中“視力正常”的圓心角度數(shù);
(3)該校八年級共有200位學生,請估計該校八年級視力正常的學生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線l經過A(6,0)和B(0,12)兩點,且與直線y=x交于點C,點P(m,0)在x軸上運動.
(1)求直線l的解析式;
(2)過點P作l的平行線交直線y=x于點D,當m=3時,求△PCD的面積;
(3)是否存在點P,使得△PCA成為等腰三角形?若存在,請直接寫出所有符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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