Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝x+2與x軸交于A、B兩點，交y軸于點C．

（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由．

（2）在拋物線對稱軸上是否存在一點P，使得以A、C、P為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直角三角形，理由見解析；（2）存在，點P的坐標（﹣，0），（﹣，2+），（﹣，2﹣）．

【解析】

（1）由二次函數(shù)圖象上點的坐標特征求得點A、B、C的坐標，易得△ABC三邊的長度，由勾股定理逆定理可以判定△ABC是直角三角形；
（2）該題中沒有指出等腰三角形的底邊，所用需要分類討論：以AP為腰和以AP為底邊兩種情況，根據(jù)兩點間的距離公式列出方程，通過解方程求得符合條件點P的坐標即可．

（1）直角三角形，理由如下：

當y＝0時，﹣x2﹣x+2＝0，解得，x1＝﹣4，x2＝1，

即B（﹣4，0），A（1，0）．

當x＝0時，y＝2，即C（0，2）．

AB＝1﹣（﹣4）＝5，AB2＝25，

AC2＝（1﹣0）2+（0﹣2）2＝5，

BC2＝（﹣4﹣0）2+（0﹣2）2＝20，

∵AC2+BC2＝AB2，

∴△ABC是直角三角形；

（2）存在，理由如下：

y＝﹣x2﹣x+2的對稱軸是x＝﹣，設P（﹣，n），

PA2＝（1+）2+n2＝+n2，PC2＝+（2﹣n）2，AC2＝5．

分類討論：

①當AP＝AC時，AP2＝AC2，

+n2＝5，方程無解； 不存在．

②當PA＝PC時，PA2＝PC2，

+n2＝+（2﹣n）2，

解得，n＝0，即P1（﹣，0）；

③當CA＝CP時CA2＝CP2，+（2﹣n）2＝5，

解得，n1＝2+，n2＝2﹣，

故P2（﹣，2+），P3（﹣，2﹣）．

綜上所述：使得以A、C、P為頂點的三角形是等腰三角形，點P的坐標（﹣，0），（﹣，2+），（﹣，2﹣）．