Question

如圖，已知⊙O的直徑AB垂直于弦CD于E，連接AD、BD、OC、OD，且OD=5．
（1）若sin∠BAD=，求CD的長；
（2）若∠ADO：∠EDO=4：1，求扇形OAC（陰影部分）的面積（結果保留π）．

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的直徑，OD=5，
∴∠ADB=90°，AB=10，
在Rt△ABD中，sin∠BAD=，sin∠BAD=，
∴，BD=6，
∴AD==8，
∵∠ADB=90°，AB⊥CD，
∴DE•AB=AD•BD，CE=DE，
∴DE×10=8×6，
∴DE=
∴CD=2DE=；

（2）∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD，
∴，
∴∠BAD=∠CDB，∠AOC=∠AOD，
∵AO=DO，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CDB=∠ADO，
設∠ADO=4x，則∠CDB=4x．
由∠ADO：∠EDO=4：1，則∠EDO=x．
∵∠ADO+∠EDB+∠EDO=90°，
∴4x+4x+x=90°，
解得：x=10°，
∴∠AOD=180°-（∠OAD+∠ADO）=100°，
∴∠AOC=∠AOD=100°，
∴S_扇形OAC=．
分析：（1）首先根據(jù)銳角三角函數(shù)求得直角三角形ABC的兩條直角邊，再根據(jù)面積計算其斜邊上的高，進一步根據(jù)垂徑定理計算弦長；
（2）根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余結合已知條件求得扇形所對的圓心角，進一步求其面積．
點評：本題為圓的綜合題，綜合考查了解直角三角形、三角函數(shù)、陰影部分面積等相關知識．