Question

7．如圖，正方形ABCD，頂點B在直線MN上，AE⊥MN，CF⊥MN，垂足分別為E、F且AE=1，CF=2．求正方形ABCD的面積．

Answer 1

分析 由四邊形ABCD為正方形，得到AB=BC，∠ABC為直角，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，利用AAS得到三角形ABE與三角形BCF全等，利用全等三角形的對應邊相等得到AE=BF=1，EB=CF=2，在直角三角形ABE中，利用勾股定理求出AB²，即為正方形的面積．

解答 解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ABE+∠CBF=90°，
∵AE⊥EB，CF⊥FB，
∴∠AEB=∠CFB=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠CBF=∠BAE，
在△AEB和△BFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠CBF}\\{∠AEB=∠BFC}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴AE=BF=1，EB=CF=2，
在Rt△AEB中，根據勾股定理得：AB²=1+4=5，
則正方形ABCD的面積為5．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質，正方形的性質，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．