Question

已知：AB、CD交于E點(diǎn)，連接AD、BC，
（1）若AD+BC=3

2

+1，2BC-AD=2-3

2

，則AD=

 

，BC=

 

．
（2）若∠B與∠D互為余角，∠A與∠C互為補(bǔ)角，則∠AEC的度數(shù)為

 

．
（3）在（1）（2）的條件下，若CD=4

2

，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理與余弦定理,解二元一次方程組,解一元二次方程-因式分解法,三角形內(nèi)角和定理,多邊形內(nèi)角與外角,平行四邊形的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)條件建立方程組，即可解決問(wèn)題．
（2）結(jié)合條件，利用三角形的內(nèi)角和就可求出∠AED的度數(shù)，進(jìn)而求出∠AEC的度數(shù)．
（3）以CD、CB為鄰邊作平行四邊形BCDF，則有∠ABF=∠AED=45°，BF=DC=4

2

，在△ADF中運(yùn)用余弦定理可求出AF²，再在△ABF中運(yùn)用余弦定理就可求出AB．

解答：解：（1）聯(lián)立

AD+BC=3 2 +1 2BC-AD=2-3 2

，
解得：

AD=3 2 BC=1

．
故答案為：3

2

，1．

（2）如圖1，
∵∠B與∠D互為余角，∠A與∠C互為補(bǔ)角，
∴∠D+∠B=90°，∠A+∠C=180°．
∵∠A+∠D+∠AED=180°，
∠B+∠C+∠BEC=180°，
∴∠A+∠D+∠AED+∠B+∠C+∠BEC=360°．
∴∠AED+∠BEC+90°+180°=360°．
∴∠AED+∠BEC=90°．
∵∠AED=∠BEC，
∴∠AED=∠BEC=45°．
∴∠AEC=135°
故答案為：135°．

（3）以CD、CB為鄰邊作平行四邊形BCDF，連接AF，如圖2所示，
∵四邊形BCDF是平行四邊形，
∴BF=DC=4

2

，DF=BC=1，∠DFB=∠C=180°-∠DAB，DC∥BF．
∴∠ABF=∠AED=45°．
在四邊形ABFD中，
∵∠DAB+∠ABF+∠BFD+∠ADF=360°，∠DFB=180°-∠DAB，∠ABF=45°，
∴∠ADF=135°．
在△ADF中，
∵AD=3

2

，DF=1，∠ADF=135°，
∴AF²=AD²+DF²-2AD•DF•cos∠ADF
=18+1-2×3

2

×1×（-

2

2

）
=25．
在△ABF中，
∵AF²=25，BF=4

2

，∠ABF=45°，
∴AF²=AB²+BF²-2AB•BF•cos∠ABF
=AB²+（4

2

）²-2×AB×4

2

×

2

2

=25．
解得：AB=1（舍去）或AB=7．
∴AB的長(zhǎng)為7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了余弦定理、解二元一次方程組、解一元二次方程、平行四邊形的性質(zhì)、三角形及四邊形的內(nèi)角和等知識(shí)，還考查了構(gòu)造法，有一定的難度，而以CD、CB為鄰邊構(gòu)造平行四邊形是解決本題的關(guān)鍵．