Question

20．已知?ABCD的一組鄰邊AB、AD的長是關于x的方程x²-4x+m=0的兩個實根．
（1）當m為何值時，四邊形ABCD是菱形？
（2）在第（1）問的前提下，若∠ABC=60°，求?ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）四邊形ABCD是菱形時，AB=AD，由一元二次方程根的判別式=0即可求出m的值；
（2）連接AC、BD交于點O，由一元二次方程的根求出AB的長，進一步利用菱形的性質(zhì)和30°角的直角三角形的性質(zhì)求得對角線的長，利用面積計算方法計算得出答案即可．

解答 解：（1）四邊形ABCD是菱形時，AB=AD，
∵AB，AD的長是關于x的方程x²-mx+4=0的兩個實數(shù)根，
∴△=（-4）²-4m=0，
解得：m=4，
∴當m=4時，四邊形ABCD是菱形
（2）如圖，連接AC、BD交于點O，

當m=4時，
x²-4x+4=0，
解得：x₁=x₂=2，
則AB=2，
∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴∠ABO=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
D═2OB，AC=2OA，AC⊥BD，
在直角△AOB中，
∵∠ABO=30°，
∴OA=$\frac{1}{2}$AB=1，
0B=$\sqrt{3}$，
BD=2OB=2$\sqrt{3}$，
AC=2OA=2，
∴S_菱形ABCD=$\frac{1}{2}$BD•AC=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，一元二次方程根的判別式；熟練掌握菱形性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．