Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，設(shè)△PAC的面積為S，求S的最大值并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，DE⊥x軸于點(diǎn)E，在y軸上是否存在點(diǎn)M，使得△ADM是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）當(dāng)x＝﹣時(shí)，S有最大值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，﹣）；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，）或（0，﹣）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．

【解析】

(1)已知拋物線上的三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出該二次函數(shù)的解析式。

(2)過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交AC于點(diǎn)N，先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），根據(jù)AC的解析式表示出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再根據(jù)S△PAC=S△PAN+S△PCN就可以表示出△PAC的面積，運(yùn)用頂點(diǎn)式就可以求出結(jié)論。

(3)分三種情況進(jìn)行討論：①以A為直角頂點(diǎn)；②以D為直角頂點(diǎn)；③以M為直角頂點(diǎn)；設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，t），根據(jù)勾股定理列出方程，求出t的值即可。

解：（1）由于拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣3，0），B（1，0），可設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x+3）（x﹣1），

將C點(diǎn)坐標(biāo)（0，﹣3）代入，得：

a（0+3）（0﹣1）＝﹣3，解得 a＝1，

則y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，

所以拋物線的解析式為：y＝x2+2x﹣3；

（2）過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交AC于點(diǎn)N．

設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+m，由題意，得

，解得，

∴直線AC的解析式為：y＝﹣x﹣3．

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+2x﹣3），則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x，﹣x﹣3），

∴PN＝PE﹣NE＝﹣（x2+2x﹣3）+（﹣x﹣3）＝﹣x2﹣3x．

∵S△PAC＝S△PAN+S△PCN，

∴S＝PNOA

＝×3（﹣x2﹣3x）

＝﹣（x+）2+，

∴當(dāng)x＝﹣時(shí)，S有最大值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，﹣）；

（3）在y軸上是存在點(diǎn)M，能夠使得△ADM是直角三角形．理由如下：

∵y＝x2+2x﹣3＝y＝（x+1）2﹣4，

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，﹣4），

∵A（﹣3，0），

∴AD2＝（﹣1+3）2+（﹣4﹣0）2＝20．

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，t），分三種情況進(jìn)行討論：

①當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖3①，

由勾股定理，得AM2+AD2＝DM2，即（0+3）2+（t﹣0）2+20＝（0+1）2+（t+4）2，

解得t＝，

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，）；

②當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖3②，

由勾股定理，得DM2+AD2＝AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20＝（0+3）2+（t﹣0）2，

解得t＝﹣，

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，﹣）；

③當(dāng)M為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖3③，

由勾股定理，得AM2+DM2＝AD2，即（0+3）2+（t﹣0）2+（0+1）2+（t+4）2＝20，

解得t＝﹣1或﹣3，

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，﹣1）或（0，﹣3）；

綜上可知，在y軸上存在點(diǎn)M，能夠使得△ADM是直角三角形，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，）或（0，﹣）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．