【題目】如圖,已知在中,,BC為直徑作于點(diǎn),AC邊的中點(diǎn),連接

1)求證:的切線.

2)①若AC=3,AE=1,的半徑;

②當(dāng) 時(shí),四邊形是正方形.

【答案】1)詳見解析;(2)①

【解析】

1)連接OE、CE,由圓周角定理得出∠BEC90°,則∠AEC90°,由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出ADCDDE,由等腰三角形的性質(zhì)得出∠DEC=∠DCE,∠OCE=∠OEC,證出∠OED90°,即可得出結(jié)論;

2)①由勾股定理求出CE2,證△OCE∽△DAE,得出比例式,求出OC的長即可;

②證△ABC是等腰直角三角形,得出∠ABC45°,證四邊形OCDE是矩形,由OCOE,即可得出四邊形OCDE是正方形.

1)證明:連接OE、CE,如圖所示:

BC是⊙O的直徑,

∴∠BEC90°,

∴∠AEC90°,

DAC的中點(diǎn),

DEACADCD

∴∠DEC=∠DCE,

OCOE

∴∠OCE=∠OEC,

∵∠ACB90°,

∴∠DEC+∠OEC=∠DCE+∠OCE=∠ACB90°,

∴∠OED90°,即OEDE

E為⊙O上的點(diǎn),

DE是⊙O的切線;

2)解:①∵AC3

ADDEAC,

∵∠AEC90°,

CE,

∵∠BEC90°,

∴∠CBE+∠OCE90°,

∵∠ACB90°,

∴∠CBE+∠DAE90°,

∴∠OCE=∠DAE,

ADDEOCOE,

∴∠OCE=∠OEC=∠DAE=∠DEA,

∴△OCE∽△DAE,

,

解得:OC,

故半徑長為;

②當(dāng)∠A45°時(shí),四邊形OCDE是正方形;理由如下:

∵∠A45°,

∴△ABC是等腰直角三角形,

∴∠ABC45°,

OBOE,

∴∠OBE=∠OEB45°,

∴∠COE=∠OBE+∠OEB45°+45°=90°,

∵∠ACB90°,∠OED90°,

∴四邊形OCDE是矩形,

OCOE

∴四邊形OCDE是正方形;

故答案為:45°.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)求證:AMAN;

2)如果∠CAD2NAD,求證:AM2ACAE;

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