Question

設x₁、x₂是方程x²+x-3=0的兩根，那么x₁³-4x₂²+20=________．

Answer 1

1
分析：先根據x₁、x₂是方程x²+x-3=0的兩根，把x₁、x₂代入此方程可得x₁²+x₁-3=0，x₂²+x₂-3=0，即x₁²=3-x₁，x₂²=3-x₂，由根與系數的關系得，x₁+x₂=-1，x₁，•x₂=-3，再把此關系代入x₁³-4x₂²+20進行計算即可．
解答：∵x₁、x₂是方程x²+x-3=0的兩根，
∴x₁²+x₁-3=0，x₂²+x₂-3=0，即x₁²=3-x₁…①，x₂²=3-x₂…②，x₁+x₂=-1…③，x₁•x₂=-3，
∴x₁³-4x₂²+20
=x₁•x₁²-4x₂²+20
=x₁•（3-x₁）-4（3-x₂）+20
=3x₁-x₁²-12+4x₂+20
=3x₁-（3-x₁）-12+4x₂+20
=4（x₁+x₂）-3-12+20
=-4-3-12+20
=1．
故答案為：1．
點評：本題考查的是一元二次方程根與系數的關系及代數式求值，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．