Question

如圖，直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，4），B（5，0），動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿BO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度均為每秒1個(gè)單位．設(shè)從出發(fā)起運(yùn)動(dòng)了xs．
（1）Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（

2+

3

5

x

，

4-

4

5

x

）；（用含x的代數(shù)式表示）
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，△APQ是一個(gè)以AP為腰的等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）過(guò)A作AC⊥OB于C，過(guò)Q作QM⊥OB于M，求出AC、BC、AB，根據(jù)sin∠ABO=

AC

AB

=

4

5

=

MQ

BQ

和cos∠ABO=

BC

AB

=

3

5

=

BM

BQ

求出MQ和BM，即可求出答案．
（2）根據(jù)勾股定理求出PQ、AP的平方，分為兩種情況：①AP=AQ，②AP=PQ，得出方程，求出方程的解即可．

解答：解：（1）
過(guò)A作AC⊥OB于C，過(guò)Q作QM⊥OB于M，
∵A（2，4），B（5，0），
∴OC=2，AC=4，BC=5-2=3，
由勾股定理得：AB=5，
∵AQ=x，則BQ=5-x，
∴sin∠ABO=

AC

AB

=

4

5

=

MQ

BQ

，cos∠ABO=

BC

AB

=

3

5

=

BM

BQ

，
∴MQ=4-

4

5

x，BM=3-

3

5

x，
∴OM=OB-BM=2+

3

5

x，
故答案為：2+

3

5

x，4-

4

5

x．

（2）由題意得：P（5-x，0）0≤x≤5，
由勾股定理得：PQ²=（

8

5

x-3）²+（4-

4

5

x）²，
AP²=（3-x）²+4²，
當(dāng)AQ=AP時(shí)，則x²=（3-x）²+4²，
解得：x=

25

6

，
當(dāng)PQ=AP時(shí)，（

8

5

x-3）²+（4-

4

5

x）²=（3-x）²+4²，
解得：x=0（舍去），x=

50

11

，
綜合上述：當(dāng)x=

25

6

或x=

50

11

時(shí)，△APQ是一個(gè)以AP為腰的等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，題目比較典型，有一定的難度，用了分類討論思想和方程思想．