【題目】我們給出如下定義:順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形.
(1)如圖1,四邊形ABCD中,點E,F(xiàn),G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點.求證:中點四邊形EFGH是平行四邊形;
(2)如圖2,點P是四邊形ABCD內(nèi)一點,且滿足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,點E,F(xiàn),G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點,猜想中點四邊形EFGH的形狀,并證明你的猜想;
(3)若改變(2)中的條件,使∠APB=∠CPD=90°,其他條件不變,直接寫出中點四邊形EFGH的形狀.(不必證明)
【答案】(1)證明見解析;(2)四邊形EFGH是菱形;(3)四邊形EFGH是正方形.
【解析】
試題分析:(1)如圖1中,連接BD,根據(jù)三角形中位線定理只要證明EH∥FG,EH=FG即可.
(2)四邊形EFGH是菱形.先證明△APC≌△BPD,得到AC=BD,再證明EF=FG即可.
(3)四邊形EFGH是正方形,只要證明∠EHG=90°,利用△APC≌△BPD,得∠ACP=∠BDP,即可證明∠COD=∠CPD=90°,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可證明.
試題解析:(1)證明:如圖1中,連接BD.
∵點E,H分別為邊AB,DA的中點,∴EH∥BD,EH=BD,∵點F,G分別為邊BC,CD的中點,∴FG∥BD,F(xiàn)G=BD,∴EH∥FG,EH=GF,∴中點四邊形EFGH是平行四邊形.
(2)四邊形EFGH是菱形.
證明:如圖2中,連接AC,BD.
∵∠APB=∠CPD,∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD,即∠APC=∠BPD,在△APC和△BPD中,∵AP=PB,∠APC=∠BPD,PC=PD,∴△APC≌△BPD,∴AC=BD.∵點E,F(xiàn),G分別為邊AB,BC,CD的中點,∴EF=AC,F(xiàn)G=BD,∵四邊形EFGH是平行四邊形,∴四邊形EFGH是菱形.
(3)四邊形EFGH是正方形.
證明:如圖2中,設AC與BD交于點O.AC與PD交于點M,AC與EH交于點N.
∵△APC≌△BPD,∴∠ACP=∠BDP,∵∠DMO=∠CMP,∴∠COD=∠CPD=90°,∵EH∥BD,AC∥HG,∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°,∵四邊形EFGH是菱形,∴四邊形EFGH是正方形.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某商場銷售A,B兩種品牌的教學設備,這兩種教學設備的進價和售價如下表所示:
A | B | |
進價(萬元/套) | 1.5 | 1.2 |
售價(萬元/套) | 1.65 | 1.4 |
該商場計劃購進兩種教學設備若干套,共需66萬元,全部銷售后可獲毛利潤9萬元。
(毛利潤=(售價 - 進價)×銷售量)
(1)該商場計劃購進A,B兩種品牌的教學設備各多少套?
(2)通過市場調(diào)研,該商場決定在原計劃的基礎(chǔ)上,減少A種設備的購進數(shù)量,增加B種設備的購進數(shù)量,已知B種設備增加的數(shù)量是A種設備減少數(shù)量的1.5倍。若用于購進這兩種教學設備的總資金不超過69萬元,問A種設備購進數(shù)量至多減少多少套?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系內(nèi),點 O 為坐標原點,點 A 在 x 軸負半軸上,點 B、C 分別在 x 軸、y 軸正半軸上,且 OB=2OA,OB﹣OC=OC﹣OA=2.
(1)求點 C 的坐標;
(2)點 P 從點 A 出發(fā)以每秒 1 個單位的速度沿 AB 向點 B 勻速運動,同時點 Q 從點 B 出發(fā) 以每秒 3 個單位的速度沿 BA 向終點 A 勻速運動,當點 Q 到達終點 A 時,點 P、Q 均停止運 動,設點 P 運動的時間為 t 秒(t>0),線段 PQ 的長度為 y,用含 t 的式子表示 y,并寫出 相應的 t 的范圍;
(3)在(2)的條件下,過點 P 作 x 軸的垂線 PM,PM=PQ,是否存在 t 值使點 O 為 PQ 中 點?若存在求 t 值并求出此時三角形 CMQ 的面積;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,方格紙中每個小正方形的邊長均為1,四邊形ABCD的四個頂點都在小正方形的頂點(小正方形的頂點叫格點)上,連接BD.
(1)利用格點在圖中畫出△ABD中AD邊上的高,垂足為H.
(2)①畫出將△ABD先向右平移2格,再向上平移2格得到的△A1B1D1;
②平移后,求線段AB掃過的部分所組成的封閉圖形的面積.
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【題目】已知平行四邊形ABCD中,CE平分∠BCD且交AD于點E,A F∥CE,且交BC于點F.
(1)求證:△ABF≌△CDE;
(2)如圖,若∠1=65°,求∠B的大。
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【題目】如圖,E是ABCD的邊CD的中點,延長AE交BC的延長線于點F.
(1)求證:△ADE≌△FCE.
(2)若∠BAF=90°,BC=5,EF=3,求CD的長.
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【題目】直線MN與直線PQ相交于O,點A在射線OP上,點B在射線OM上.
(1)如圖1,已知AG、BG分別是∠BAO和∠ABO角的平分線,求的度數(shù);
(2)如圖2,已知AB不平行CD,AD、BC分別是∠BAP和∠ABM的角平分線,又DE、CE分別是∠ADC和∠BCD的角平分線,∠CED= 度;
(3)如圖3,,過點B作直線CD⊥MN,G為射線BD上一點,OF平分∠QOG,OE⊥OF,探索的大小是否發(fā)生變化?若不變,求其值;若改變,說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,DE∥BF,∠1與∠2互補.
(1)試說明:FG∥AB;
(2)若∠CFG=60°,∠2=150°,則DE與AC垂直嗎?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知點A(3,3),B(5,3).
(1)在y軸的負方向上有一點C(如圖),使得四邊形AOCB的面積為18,求C點的坐標;
(2)將△ABO先向上平移2個單位,再向左平移4個單位,得△A1B1O1
①直接寫出B1的坐標:B1( )
②求平移過程中線段OB掃過的面積.
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