Question

試確定，對于怎樣的正整數(shù)a，方程5x²-4（a+3）x+a²-29=0有正整數(shù)解？并求出方程的所有正整數(shù)解．

Answer 1

分析：首先把方程改寫成（x-6）²+（a-2x）²=65這種形式，根據(jù)65表成兩個正整數(shù)的平方和，只有兩種不同的形式：65=1²+8²=4²+7²，進而求出x的整數(shù)根．

解答：解：將方程改寫為 （x-6）²+（a-2x）²=65，
由于65表成兩個正整數(shù)的平方和，只有兩種不同的形式：65=1²+8²=4²+7²
所以，

| x -  6 |=8 |a-2x|=1

…①，或 

| x -  6 |=7 |a-2x|=4

…②

| x -  6 |=1 |a-2x|=8

…③，或 

| x -  6 |=4 |a-2x|=7

…④
由①得x=14（當(dāng)a=29或27）；由②得x=13（當(dāng)a=22或30）；
由③得x=5（當(dāng)a=2或18）； 或 x=7（當(dāng)a=6或22）；
由④得x=2（當(dāng)a=11）；或 x=10（當(dāng)a=13或27）．

點評：本題主要考查一元二次方程的整數(shù)根和有理根的知識點，解答本題的關(guān)鍵是把方程改寫成（x-6）²+（a-2x）²=65這種形式，此題難度一般．