Question

【題目】已知直線y=kx+1經(jīng)過點(diǎn)M（d，﹣2）和點(diǎn)N（1，2），交y軸于點(diǎn)H，交x軸于點(diǎn)F．

（1）求d的值；

（2）將直線MN繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到直線ME，點(diǎn)Q（3，e）在直線ME上，①證明ME∥x軸；②試求過M、N、Q三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，連接NQ，作△NMQ的高NB，點(diǎn)A為MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若BA將△NMQ的面積分為1：2兩部分，且射線BA交過M、N、Q三點(diǎn)的拋物線于點(diǎn)C，試求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）d=﹣3；

（2）①證明見解析，

②y=﹣x2+；

（3）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1﹣2，2﹣2）和（1，2）．

【解析】

試題分析：（1）把點(diǎn)N（1，2）代入y=kx+1，得k，再把M點(diǎn)坐標(biāo)代入已知直線解析式得d；

（2）由（1）可知直線MN：y=x+1與x軸夾角為45°，將直線MN繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到直線ME，此時(shí)ME∥x軸；由此可以判斷點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)與點(diǎn)M相同，e=﹣2，已知M、N、Q三點(diǎn)坐標(biāo)，可求拋物線解析式；

（3）有兩種可能，即S△AMB=S△NMQ或S△AMB=S△NMQ；△NMQ的面積為已知，線段MB長(zhǎng)已知，可求點(diǎn)A到BM的距離，又點(diǎn)A在直線MN上，可求點(diǎn)A坐標(biāo)，用“兩點(diǎn)法”求直線AB解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立，可求C點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（1）把點(diǎn)N（1，2）代入y=kx+1，得k=1

∴y=x+1

∵點(diǎn)M（d，﹣2）在直線y=x+1上

∴d=﹣3

（2）①∵y=x+1分別交x軸、y軸于點(diǎn)F、H．

∴F（﹣1，0），H（0，1），

∴OF=OH=1

∴∠HFO=∠NME=45°，

∴ME∥x軸

②又∵點(diǎn)Q（3，e）在直線ME上，

∴Q（3，﹣2）

設(shè)過M（﹣3，﹣2），N（1，2），Q（3，﹣2）的拋物線為y=ax2+bx+c

代入三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)得

解得

∴y=﹣x2+

（3）設(shè)A（m，n），A到MQ的距離為h，則

S△AMB=S△NMQ或S△AMB=S△NMQ

當(dāng)S△AMB=S△NMQ時(shí)，得MBh=×MQNB ①

∵NB是△NMQ的高，

∴B（1，﹣2）

∴MB=4，MQ=6，NB=4

∴由①式得h=2，

∴n=2﹣2=0，m=﹣1

∴A（﹣1，0）

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，代入A（﹣1，0）和B（1，﹣2），得k=﹣1，b=﹣1

解方程組

得（舍去）

∴C（1﹣2，2﹣2）

當(dāng)S△AMB=S△NMQ時(shí)，可得h=4，n=2，m=1

此時(shí)點(diǎn)A（1，2）為滿足條件的點(diǎn)

綜上可知，所求點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1﹣2，2﹣2）和（1，2）．