Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)A、C、D在坐標(biāo)軸上，二次函數(shù)y1=ax2+bx+4的圖象經(jīng)過頂點(diǎn)A、C、D，且點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，0）．
（1）請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)：A（

 

，

 

）、B（

 

，

 

）；
（2）求a、b的值；
（3）若過A、B兩點(diǎn)的直線與y軸相交于點(diǎn)E，P點(diǎn)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線與直線AB相交于點(diǎn)F．是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)C、E、P、F構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（4）又知直線AB與二次函數(shù)的圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為G（5，-

28

3

），Q點(diǎn)為拋物線上A、G兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△QAG的面積最大時(shí)，直接寫出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由C、D的坐標(biāo)可求出菱形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而確定A、B的坐標(biāo)．
（2）應(yīng)用待定系數(shù)法求得a、b的值．
（3）設(shè)直線AB的解析式為y₁=mx+n，用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式y1=-

4

3

x-

8

3

，從而求得E點(diǎn)的坐標(biāo)，求得CE的值，設(shè)P的坐標(biāo)（t，-

2

3

t2+

2

3

t+4），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，-

4

3

t-

8

3

），PF=|-

2

3

t2+

2

3

t+4-（-

4

3

t-

8

3

）|=|-

2

3

t2+2t+

20

3

|．由PF∥CE，得出|-

2

3

t2+2t+

20

3

|=

20

3

．然后從兩種情況討論即可求得．
（4）該題的關(guān)鍵點(diǎn)是確定點(diǎn)P的位置，△QAG的面積最大，那么S_△QAG=

1

2

AG•h，AG×h中h的值最大，即點(diǎn)Q離直線AG的距離最遠(yuǎn)，那么點(diǎn)Q為與直線AB平行且與拋物線有且僅有的唯一交點(diǎn)．

解答：解：（1）二次函數(shù)y1=ax2+bx+4的圖象經(jīng)過頂點(diǎn)A、C、D，且點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，0）．
∴C（0，4），
∵D（3，0），
∴OC=4，OD=3，
∴CD=

OC2+OD2

=5；
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD=CD=BC=5，
∴A（-2，0），B（-5，4）．

（2）把A（-2，0），D（3，0）代入y1=ax2+bx+4，
得

4a-2b+4=0 9a+3b+4=0

解得

a=- 2 3 b= 2 3 .

．

（3）設(shè)直線AB的解析式為y₁=mx+n，
把A（-2，0）和B（-5，4）代入y₁=mx+n，

-2m+n=0 -5m+n=4

，
解得

m=- 4 3 n=- 8 3

，
∴y1=-

4

3

x-

8

3

．
∴點(diǎn)E（0，-

8

3

），
∴CE=

20

3

；
可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)（t，-

2

3

t2+

2

3

t+4），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，-

4

3

t-

8

3

），
PF=|-

2

3

t2+

2

3

t+4-（-

4

3

t-

8

3

）|=|-

2

3

t2+2t+

20

3

|；
∵PF∥CE，
∴PF=CE，
∴|-

2

3

t2+2t+

20

3

|=

20

3

．
①當(dāng)-

2

3

t2+2t+

20

3

=

20

3

時(shí)，t₁=0（不合題意，舍去），t₂=3．
②當(dāng)-

2

3

t2+2t+

20

3

=-

20

3

時(shí)，t1=

3+ 89

2

，t1=

3- 89

2

，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3或

3+ 89

2

或

3- 89

2

．   

（4）∵S_△QAG=

1

2

AG•h，
∴當(dāng)Q到直線AB的距離最遠(yuǎn)時(shí)，S_△QAG最大；
若設(shè)直線L∥AB，則直線L與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，該交點(diǎn)為點(diǎn)Q；
設(shè)直線L：y=-

4

3

x+b，當(dāng)直線L與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，
-

4

3

x+b=-

2

3

x²+

2

3

x+4，
且△=0；
求得：b=

11

2

，
即直線L：y=-

4

3

x+

11

2

；
可得點(diǎn)Q（

3

2

，

7

2

）．
由直線AB；y1=-

4

3

x-

8

3

與拋物線y=-

2

3

x²+

2

3

x+4的交點(diǎn)為：
A（-2，0），G（5，-

28

3

），
則直線QG：y=-

11

3

x+9；
設(shè)直線QG與x軸的交點(diǎn)為F，
則點(diǎn)F（

27

11

，0），
AF=OA+OF=

49

11

；
∴△QAG的最大值：S_△QAG=S_△QAF+S_△AGF=

1

2

×

49

11

×（

28

3

+

7

2

）=

343

12

．
綜上所述，當(dāng)Q（

3

2

，

7

2

）時(shí)，△QAG的面積最大為

343

12

．

點(diǎn)評(píng)：該題考查的是函數(shù)的動(dòng)點(diǎn)問題，其中綜合了特殊四邊形、圖形面積的求法等知識(shí)，找出動(dòng)點(diǎn)問題中的關(guān)鍵點(diǎn)位置是解答此類問題的大致思路．