Question

【題目】如圖①，AB是⊙O的直徑，且AB＝10，C是⊙O上的動點，AC是弦，直線EF和⊙O相切于點C，AD⊥EF，垂足為D.(1)求證：∠DAC＝∠BAC；

(2)若AD和⊙O相切于點A，求AD的長；

(3)若把直線EF向上平行移動，如圖②，EF交⊙O于G，C兩點，題中的其他條件不變，試問這時與∠DAC相等的角是否存在，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）5；（3）存在，∠BAG＝∠DAC，理由詳見解析.

【解析】試題分析：

（1）連接OC，則OC∥AD，得∠OCA=∠DAC，又∠OCA=∠OAC，即可證明；

（2）根據切線長定理，證明矩形OADC是正方形；

（3）連接BC，證∠BCG=∠DAC，又∠BCG=∠BAG，即得證.

試題解析：

(1)證明：如圖①，連接OC.∵直線EF和⊙O相切于點C，

∴OC⊥EF.∵AD⊥EF，∴OC∥AD.∴∠DAC＝∠OCA.

∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA.∴∠DAC＝∠BAC.

(2)解：∵AD和⊙O相切于點A，∴OA⊥AD.∵AD⊥EF，OC⊥EF，

∴∠OAD＝∠ADC＝∠OCD＝90°.∴四邊形OADC是矩形．∵OA＝OC，

∴矩形OADC是正方形．∴AD＝OA.∵AB＝2OA＝10，∴AD＝OA＝5.

(3)解：存在，∠BAG＝∠DAC.理由如下：如圖，連接BC.∵AB是⊙O的直徑，

∴∠BCA＝90°.∴∠ACD＋∠BCG＝90°.∵∠ADC＝90°，

∴∠ACD＋∠DAC＝90°.∴∠DAC＝∠BCG.∵∠BCG＝∠BAG，∴∠BAG＝∠DAC.