Question

3．如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC、∠BCA的平分線相交于點O，求證：OE=OF．

Answer 1

分析 在CA上截取CG=CE，即可證明△CGO與△CEO全等，從而得到∠COG=∠COE，OE=OG；根據(jù)∠ABC=60°以及題目所給兩條角平分線的條件，可算出∠AOC=120°，從而可得到∠AOF=∠AOG=∠COG=∠COE=60°，然后易證△AFO與△AGO全等，得到OG=OF，所以O(shè)F=OE．

解答 證明：在CA上截取CG=CE，如圖，

在△CGO與△CEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{CG=CE}\\{∠OCG=∠OCE}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△CGO≌△CEO（SAS），
∴∠GOC=∠EOC，OE=OG
∵∠ABC=60°，AE平分∠BAC，CF平分∠BCA，
∴∠AOC=120°，
∴∠AOF=∠COE=∠COG=∠GOA=60°，
在△AFO與△AGO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠GAO}\\{AO=AO}\\{∠FOA=∠GOA}\end{array}\right.$，
∴△AFO≌△AGO（ASA），
∴OG=OF，
∴OE=OF．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和性質(zhì)，難度中等．根據(jù)角平分線的對稱性，在兩邊截取線段相等構(gòu)造三角形全等是重要技巧，要熟練掌握．